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 Diskrete Zufallvariablen: Erwartungswert, Varianz & Wahrscheinlichkeitsfunktion |
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Lilyhammer
Junior 
Dabei seit: 03.06.2018
Mitteilungen: 7
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Hallo liebe Statistikfreunde & -freundinnen,
dieses Wochenende beschäftige ich mich mit dem Thema der Zufallsvariablen.
Mir ist klar, dass man zwischen diskrete und kontinuierliche (stetige) Zufallsvariablen unterscheidet: Erstere haben endlich viele oder abzählbar unendlich viele Realisationen. Letztere können innerhalb ihres Definitionsbereiches jeden beliebigen Zahlenwert annehmen. Jetzt soll man bei den nachfolgenden beiden Aufgaben Zufallsvariablen selbst konstruieren und daraus dann eine Varianz und Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen:
Ich habe mir schon Videos wie von Jörn Lovisach angeschaut (www.youtube.com/watch?v=PMxG7d8KCiY) und verstehe schon irgendwo das Prinzip, aber die Übersetzung auf diese konkreten Aufgaben fallen mir bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen immer wieder schwer. Könnt ihr mir die Schritt-für-Schritt-Vorgehensweise schildern? Also was überlegt man sich zuerst und was folgt darauf? Ich würde das gern verstehen und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
Liebe Grüße,
Lilyhammer
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3223
Aus: Raun
|      Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-17
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Hallo Lilyhammer,
Wikipedia Zufallsvariable startet das Thema mit
"Formal ist eine Zufallsvariable eine Zuordnungsvorschrift, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet. Ist diese Größe eine Zahl, so spricht man von einer Zufallszahl. Beispiele für Zufallszahlen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem Glücksspiel."
Was wäre dann in deiner Aufgabe das Zufallsexperiment, was die möglichen Ergebnisse und mit welcher Zuordnungsvorschrift wird einem solchen Ergebnis eine Zahl zugeordnet? Man muss dabei eventuell etwas tricksen, die möglichen Ergebnisse so festzulegen, dass eine anschließende Zuordnungsvorschrift sinnvoll zu machen geht, denn die Ergebnisse sind keine Eigenschaft des Zufallsexperiments sondern eine willkürliche Festlegung vom Beobachter.
Viele Grüße,
Stefan
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Lilyhammer
Junior
Dabei seit: 03.06.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-17
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Hallo lieber Stefan,
vermutlich muss man sich da nochmal das Urnenmodell vor Augen führen. Bei Wikipedia wird das wie bei 9.2 a) mit Zurücklegen erläutert: de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell#Ziehen_mit_Zur%C3%BCcklegen
Demnach liegt bei 9.2 a) eine Variation mit Wiederholung vor:
Ereignismenge = n hoch k.
d.h. Die Wahrscheinlichkeit eine der Fünf Kugeln zu ziehen ist erstmal immer 1 zu 5.
Daraus folgt, wenn man von 5 Kugeln 2 mit Zurücklegen zieht: 1/5 hoch 2. D.h. wir haben als Endergebnis: 1/25
Jetzt weiss ich nicht, wie ich die ersten Überlegungen mit dieser Gewinn- und Verlustrechnung kombinieren soll.
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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3223
Aus: Raun
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-17
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Der Link zu Urnenmodell Ziehen mit zurücklegen ist gut. Auch dort wird von Ergebnissen gesprochen und diese werden in einer Ergebnismenge \(\Omega\) zusammengefasst. Wie lautet die Ergebnismenge der Aufgabe? Der Versuch "Ereignismenge = n über k" geht in die richtige Richtung, es stecken aber drei Fehler drin: Es geht erstmal um die Ergebnismenge, welche Ergebnisse können bei dem Zufallsexperiment auftreten. Vielleicht meinst du mit Ereignismenge das schon, der Begriff Ereignis wird aber für etwas anderes verwendet (für eine Menge von Ergebnissen, beispielsweise alle Ergebnisse mit Gewinn). Deshalb ist es besser, so wie definiert zu bezeichnen. Dann ist "n über k" keine Menge, sondern die Mächtigkeit einer Menge. Schließlich ist das die Mächtigkeit für Ziehen ohne Zurücklegen. Mein Tipp, schreibe zuerst die Ergebnismenge auf, in dem Link ist das schon für den allgemeinen Fall n Kugeln mit Zurücklegen gemacht, du brauchst das nur auf den konkreten Fall n=2 N=5 übertragen. Dann die Zufallsvariable als Abbildung von der Ergebnismenge in die Menge der reellen Zahlen definieren. Dann nochmal zu jedem Ergebnis dessen Wahrscheinlichkeit zuordnen (1/25 ist schon richtig) und dann diese Wahrscheinlichkeit und den Funktionswert der Zufallsvariable in die Formel für den Erwartungswert einsetzen, dann hast du den ersten Teil von a) geschafft.
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Lilyhammer
Junior
Dabei seit: 03.06.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18
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Hallo Stefan,
ich habe heute mal im Unterricht nachgefragt und hab nicht schlecht gestaunt. Der ganze Rechenweg wäre mir niemals in den Sinn gekommen.
I. Erwartungswert
(-4 x 1 - 3 x 2 - 2 x 3 - 1 x 4 + 1 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x 1) geteilt durch (5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1) = 0
Es wird also im Zähler der mögliche Gewinn/Verlust multipliziert mit dem Ereignisraum der beiden Kugeln die je 1 2 3 4 sowie 5 4 3 2 1 enthalten. Wobei ich nicht verstanden habe, warum man das eine aufsteigend und das andere absteigend einbringt. Zugleich frage ich mich, warum im Zähler die 5 nicht stattfindet.
II. Varianz
Hier sollte man irgendwie erkennen, dass eine theoretische Varianz zu berechnen ist. D.h. E(x²)-[E(x)]²
II. a) Für jedes einzelne Ereignis ist dann folgende Formel zu rechnen:
E(x) = Summenzeichen xi mal Pi(x = xi)
d.h. -4x1/25, -6/25, -6/25, -4/25, 0, 4/25, 6/25, 6/25, 4/25
Die Summe davon ist 0.
II. b) Nun kommt der zweite Teil der Varianz-Formel. Die Teil-Formel sieht dann so aus: E(x²) = Summenzeichen xi² P(x=xi)
d.h. 16/25, 18/25, 12/25, 4/25, 0, 4/25, 12/25, 13/25, 16/25
Die Summe davon ist 100/25 also 4
III. Die Varianzformel ist jetzt fertig.
D.h. V(x) = E(x²)-[E(x)]² = 4 - 0² = 4
IV. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion zeichnet man dann anhand von relativen Häufigkeiten, die auch nochmal vorher berechnet werden müssen:
1/25, 3/25, 6/25, 10/25, 15/25, 19/25, 22/25, 24/25
Summe wäre dann: 1
Und das war bloss 9.2 a) Ich würde das nie so kombiniert und gerechnet bekommen. Ich weiss schlicht nicht, welche Fragen ich mir stellen muss. Selbst jetzt wo ich die Lösung habe.
9.2 b) Geht etwas schneller, weil man in a) schon viel geleistet hat:
E(10 mal x) = 10 mal E(x) = 10 mal 0 = 0
Varianz: V(10 mal X) = 10²V(x) = 100 mal 4 = 400
Bei der Varianz muss man irgendwie erkennen, dass hier eine Konstante vorliegt.
Mehr konnte ich leider nicht in Erfahrung bringen. Mir ist das ganze Gebiet ein Rätsel und muss wohl noch viel Geld in Nachhilfe investieren, weil allein aus den Formeln erschliesst sich mir das alles nicht.
Liebe Grüße
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Link | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3223
Aus: Raun
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-23
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Die 5 steht im Zähler als 0 x 5, doch ein Allheilmittel ist dieser Tipp auch nicht. Schau dir nochmal das Prinzip mit Ergebnis-, Ereignismenge und der Zufallsvariable an. In der Frage schreibst du Zufallsvariabe konstruieren. Unabhängig davon, ob das der original Wortlaut der Aufgabe ist oder nicht, das trifft die Sache ganz gut. Man muss nicht etwas in der Aufgabe sehen oder herausfinden sondern man muss sich etwas zur Aufgabe ausdenken und dabei hat man auch einen gewissen Freiraum, so dass nicht ein Lösungsweg wie die andere aussehen muss. Du musst nicht auf einen bestimmten Lösungsweg kommen.
Einfacheres Beispiel: Münzwurf, "Kopf" gewinnt 19 irgendwas. Die Ergebnismenge \(\Omega\) besteht aus den beiden möglichen Versuchsausgängen {"Kopf","Zahl"}. DIe Zufallsvariable \(X\) bildet "Kopf" auf die reelle Zahl 19 ab und "Zahl" auf die reelle Zahl 0. Genausogut könntest du als Ergebnismenge die beiden Gewinnvarianten {0,19} verwenden, die Zufallsvariable ist in diesem Fall die identische Abbildung 0 auf 0 und 19 auf 19. In beiden Varianten ist dann der Erwartungswert 9,5.
Zweites Beispiel: Deine Aufgabe mit 3 statt 5 Kugeln. Ergebnismenge sind die Menge der Tupel {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Tupel deshalb, weil es auf die Reihenfolge der (i,j) ankommt, (i,j) ist ein anderes Ergebnis als (j,i). Zufallsvariable ist die Abbildung, die dem Tupel (i,j) die Zahl i-j zuordnet. Erwartungswert ist die Summe aller i-j für alle möglichen Werte i,j multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeit 1/9. Doch als Ergebnismenge könntest du auch wieder die Menge der möglichen Gewinnauszahlungen {-2, -1, 0, 1, 2} nehmen und als Zufallsvariable die identische Abbildung. Für den Erwartungswert muss man dann die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Auszahlungen einzeln bestimmen, da sie unterschiedlich sind. Dritte Variante, Ergebnismenge und Zufallsvariable wie in der ersten Variante, die Ergebnisse werden aber zu 5 unterschiedlichen Ereignissen {(1,3)}, {(1,2), (2,3)}, {(1,1), (2,2), (3,3)}, {(2,1), (3,2)} und {(3,1)} zusammengefasst. Jedes Ereignis enthält alle Ergebnisse mit gleicher Auszahlung. In der Variante kann man auch gleich mit die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse ablesen, 1/9+2/9+3/9+2/9+1/9=1. Da die Zufallsvariable für jedes Element eines Ereignisses den gleichen Funktionswert hat, kann man den Erwartungswert als Summe der Auszahlung eines Ereignisses multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen. Das ist nur noch eine Summe über 5 statt 9 Summanden.
Im Prinzip kann man durch Aufzählung aller Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit und Funktionswert der Zufallsvariable, alle Aufgaben, wenn schon nicht lösen, zumindest anpacken. Erst bei sehr vielen Ergebnissen muss man sich überlegen, wie man diese geeignet zusammenfasst, weil alleiniges Aufzählen irgendwann nicht mehr möglich ist.
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