Die Mathe-Redaktion - 14.11.2018 23:33 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt5 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 489 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild
JoKli
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-18

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

Voraussetzung für das Wechselwirkungsbild ist ja, dass sich der Hamiltonoperator in einen stationären Teil und den eigentlichen Wechselwirkungsteil aufteilen lässt:

\(\hat{H} = \hat{H_0} + \hat{H}_1(t)\)

Es gilt dann für den Hamiltonoperator im WW-Bild:

\(\hat{H}^I_1(t) = \hat{U}^{-1} \hat{H}_1(t) \hat{U}\)

Wenn ich nun die Schrödingergleichung eines Zwei-Nivau-Systems im WW-Bild lösen will bin ich mir unsicher was ich für den Hamiltonoperator einsetzen muss. Wenn ich obige Definition einsetze, also die Zeitentwicklungsoperatoren mitnehme, dann kann ich es nicht weiter auflösen, wenn ich für \( \hat{H}^I_1(t) \) allerdings einfach nur den WW-Teil, also \( \hat{H_1} \) einsetze, dann komm ich auf gekoppelte DGLs die ich weiter auflösen kann.

Ich verstehe also nicht warum ich den stationären Teil einfach weglassen kann und nicht mit obiger Definition arbeiten muss. Könnte mir das vielleicht jemand ganz allgemein erklären?

Wenn nötig lad ich auch die Aufgabe hoch, aber ich glaub eine allgemeine Erklärung würde mir schon reichen.

Danke!
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 7880
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-19


Hallo JoKli!

Mit wem oder was wechselwirkt denn Dein Zwei-Zustand-System?

Das Wechselwirkungsbild ist nicht immer die geschickteste Wahl. Welches "Bild" man zur Beschreibung wählt hängt davon ab, wie der Hamilton-Operator konkret aussieht.

Daher wäre es zunächst sinnvoll, Du schreibst den Originalwortlaut der Aufgabe hier auf (bitte keine externen Links).

Gruß
Juergen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JoKli
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-19

\(\begingroup\)
Hallo Juergen,

danke für die Antwort. In der Aufgabe ist der Hamiltonoperator \[\hat{H} = \frac{\epsilon}{\hbar} \hat{S_z}+ \frac{g}{\hbar}(e^{-i\omega t}\hat{S}^++e^{i\omega t}\hat{S}^-)\] mit Spinoperatoren bzw. Leiteroperatoren gegeben. Der erste Teil ist also stationär, der zweite enthält die Wechselwirkung, die Voraussetzung für das Wechselwirkungsbild ist also gegeben.

Es wird die Wechselwirkung einer Lichtmode mit einem Zwei-Niveau-System modelliert. Dieses hat die Energieniveaus \(|0>\) und \(|1>\). Die Leiteroperatoren wirken auf die Zustände: \(\hat{S}^+ |0> = \hbar |1>, \hat{S}^+ |1> = 0\), der andere analog in die andere Richtung.

Nun soll ich die zeitabhängige Schrödingergleichung lösen. Dazu ist der Hinweis in der Aufgabe, das ganze erst im Wechselwirkungsbild zu machen und dann ins Schrödingerbild zurück zu transformieren.

Als Ansatz hab ich die Wellenfunktion als Linearkombination der beiden Zustände geschrieben. Wenn ich in der Schrödingergleichung nun einfach nur den Wechselwirkungsteil verwende, also:\[\hat{H_1} |\psi > = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi>\], dann erhalte ich eben gekoppelte DGLs der Form\[\frac{\partial}{\partial t} c_1 = - i \frac{1}{\hbar} g c_0 e^{-i\omega t}\] wobei die c's die Koeffizienten meiner Linearkombination sind. Damit kann ich dann die c's berechnen und komme auf die Wellenfunktion.

Da dieser Weg ziemlich weit führt und ich ja ein Ergebnis rausbekomm, geh ich mal davon aus, dass er zumindest ansatzweise richtig ist. Ich verstehe dann allerdings nicht wo ich hier in das Dirac-Bild wechsle, bzw. ob ich am Ende wieder zurücktransformieren muss und warum ich den stationären Teil des Hamilton-Operators einfach weglassen kann.

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 697
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-19

\(\begingroup\)
Die Schrödingergleichung, die du da löst, sieht zu erst einmal korrekt aus, aber sie ist eben die Gleichung im Dirac- und nicht im Schrödingerbild, also \(\mathrm i\hbar\partial_t|\psi(t)\rangle_\mathrm{D}=\frac{g}{\hbar}\left(\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\hat{S}^++\mathrm e^{\mathrm i\omega t}\hat{S}^-\right)|\psi(t)\rangle_\mathrm D\), deine Ansatzwellenfunktion für diese Gleichung (im Diracbild!) ist \(|\psi(t)\rangle_\mathrm{D}=c_0(t)|0\rangle+c_1(t)|1\rangle\). Der Zusammenhang zwischen beiden Bildern ist ja \(|\psi(t)\rangle_\mathrm{D}=\exp\left(\frac{\mathrm i\epsilon}{\hbar^2}\hat{S}_z(t-t_0)\right)|\psi(t)\rangle_\mathrm{S}\). Vorausgesetzt du hast die richtigen Funktionen für \(c_0(t)\) und \(c_1(t)\) gefunden, kannst du daraus dann einfach die Ansatzwellenfunktion ins Schrödingerbild bringen, d.h. mit dem Zeitentwicklungsoperator ohne WW multiplizieren.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JoKli
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Warum ist die verwendete Schrödingergleichung im Dirac-Bild?

Es gelten für die Übergänge zwischen WW-Bild und Schrödingerbild:

\(|\psi(t) \rangle_D = \hat{U}^{-1} |\psi(t) \rangle_S\)
\(\hat{H}_1(t)_D = \hat{U}^{-1}\hat{H}_1(t)_S \hat{U}\)

wobei \(\hat{U}\) nur den stationären Teil enthält. Der Hamiltonoperator der Aufgabe ist meinem Verständnis nach im Schrödingerbild gegeben. Warum kann ich nun in der Schrödingergleichung (die laut dir nun im Dirac-Bild ist) einfach

\(\hat{H}_1(t)_D = \hat{H}_1(t)_S\)

verwenden (den stationären Teil also einfach weglassen) und muss nicht mit obiger Definition für \(\hat{H}_1(t)_D\) rechnen?

Danke für die Hilfe!
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 697
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)

Warum ist die verwendete Schrödingergleichung im Dirac-Bild?
Weil die Aufgabenstellung es vorschlägt.


Warum kann ich nun in der Schrödingergleichung (die laut dir nun im Dirac-Bild ist) einfach

[...]

verwenden (den stationären Teil also einfach weglassen) und muss nicht mit obiger Definition für [...] rechnen?

Nein, ich habe nur vergessen, überall die Ds unten ranzuschreiben. Also noch mal sauber: \(\mathrm i\hbar \partial_t\left(c_0(t)|0\rangle_\mathrm{D}+c_1(t)|1\rangle_\mathrm{D}\right)=\hat{H}_1(t)_\mathrm{D}\left(c_0(t)|0\rangle_\mathrm{D}+c_1(t)|1\rangle_\mathrm{D}\right)\). Das ist die Schrödingergleichung im Diracbild, die vollkommen äquivalent zu der im Schrödingerbild ist. Jetzt muss nur noch eingesetzt werden, ggf. nützlich dafür ist \(\left(A_\mathrm{S}|\psi\rangle_\mathrm{S}\right)_D=U^\dagger_0A_\mathrm{S}|\psi\rangle_\mathrm{S}=A_\mathrm{D}|\psi\rangle_\mathrm{D}\), was direkt aus der Unitarität folgt.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JoKli
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-21

\(\begingroup\)
Ja und jetzt ist die Frage was eingesetzt werden muss.

Ich würde nun eben meine Definition

\(\hat{H}_1(t)_D = \hat{U}^{-1}\hat{H}_1(t)_S \hat{U}\)

einsetzen. Dann komm ich allerdings nicht auf die Schrödingergleichung die laut dir im Dirac-Bild ist, also:

\(\mathrm i\hbar\partial_t|\psi(t)\rangle_\mathrm{D}=\frac{g}{\hbar}\left(\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\hat{S}^++\mathrm e^{\mathrm i\omega t}\hat{S}^-\right)|\psi(t)\rangle_\mathrm D\)

Hier wurde ja einfach

\(\hat{H}_1(t)_D = \hat{H}_1(t)_S \)

eingesetzt. Nach der Definition hätte ich aber noch die zwei Zeitentwicklungsoperatoren drin, mit denen ich dann nicht umzugehen weiß...
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JoKli
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-21

\(\begingroup\)
Jetz ist es mir glaube ich gerade klar geworden.

Die Schrödingergleichung in Dirac-Notation sieht so aus:

\(i \hbar \partial_t (c_0 U^{-1} |0\rangle_S + c_1 U^{-1} |1\rangle_S) = U^{-1} H_1^S U (c_0 U^{-1} |0\rangle_S + c_1 U^{-1} |1\rangle_S) \)

Wenn ich nun von links auf die jeweiligen Zustände projiziere heben sich alle Zeitentwicklungsoperatoren gegenseitig auf, da ich mit der Form

\(\langle 1|_S U\)

projiziere. Somit fällt in diesem Fall alles bis auf das \(H_1^S\) weg und meine bisherige Rechnung führt zum richtigen Ergebnis.

Danke jedenfalls für die Hilfestellung ;)
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JoKli hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JoKli hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]