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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Jede Permutationsdarstellung ist zerlegbar
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Autor
Universität/Hochschule J Jede Permutationsdarstellung ist zerlegbar
Samstag112
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.06.2018
Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-18


Hallo!
Kann mir jemand weiterhelfen, warum jede Permutationsdarstellung mindestens in die triviale und eine kleinere Darstellung zerlegbar ist?
Die triviale ist ja logisch. Aber welche ist die kleinere bzw kann mir jemand ein Beispiel nennen?
Ich dachte, da ja jede Permutationsdarstelling eine lineare Darstellung impliziert und jede lineare Darstellung vollständig reduzibel ist (unter gegebenen Voraussetzungen), müsste folgen, dass die Permutationsdarstellung zerlegbar ist. Aber ich habe da so eine Ahnung, dass das ein Trugschluss ist.
Danke vorab für eure Hilfe!



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45618
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-18


Hi Samstag112,
die Behauptung ist nicht richtig.
Permutationsdarstellungen können unzerlegbar sein.
Gruß Buri



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Samstag112
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.06.2018
Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Hallo Buri,

kannst du mir vielleicht ein Beispiel nennen? Laut meines Professors stimmt die Aussage und ich soll sie erklären  eek  Gilt sie vielleicht unter bestimmten Voraussetzungen?



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Dune
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 2976
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-18

\(\begingroup\)
Die Permutationsdarstellung einer beliebigen p-Gruppe, die durch Linksmultiplikation auf sich selbst operiert, ist über Körpern der Charakteristik p unzerlegbar (aber nicht irreduzibel).

Das einfachste Beispiel ist die klassische Permutationsdarstellung \( S_2 \to \mathrm{GL}(2,2) \).

2018-06-18 21:59 - Samstag112 in Beitrag No. 2 schreibt:
Gilt sie vielleicht unter bestimmten Voraussetzungen?
Ja, wenn die Charakteristik des Körpers K nicht die Ordnung der endlichen Gruppe G teilt, dann ist jede Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(n,K) \) vollständig reduzibel. Im Falle einer Permutationsdarstellung zerfällt der Raum \( K^n \) dann immer in eine direkte Summe aus dem invarianten Unterraum \( \langle (1,1,\dots,1) \rangle \) und einem weiteren invarianten Unterraum, der sich leicht durch eine einzige Gleichung beschreiben lässt.

Reicht dir das als Tipp?
\(\endgroup\)


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Samstag112
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.06.2018
Mitteilungen: 12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-19

\(\begingroup\)
2018-06-18 23:27 - Dune in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Permutationsdarstellung einer beliebigen p-Gruppe, die durch Linksmultiplikation auf sich selbst operiert, ist über Körpern der Charakteristik p unzerlegbar (aber nicht irreduzibel).

Das einfachste Beispiel ist die klassische Permutationsdarstellung \( S_2 \to \mathrm{GL}(2,2) \).



Das verwirrt mich gerade ein bisschen. Eine Permutationsdarstellung ist doch eine Abbildung von einer Gruppe G in eine Symmetriegruppe Sym(X).
\(\endgroup\)


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Dune
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Mitteilungen: 2976
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-19

\(\begingroup\)
Kann sein, dass der Begriff "Permutationsdarstellung" für verschiedene Dinge verwendet wird (siehe etwa hier oder besser hier). In deinem Kontext handelt es sich aber sicherlich um eine bestimmte lineare Darstellung, also um einen Homomorphismus \( G \to \mathrm{GL}(n,K) \) (ansonsten müsstest du mal definieren, was du eigentlich mit "zerlegen" meinst).

\(\endgroup\)


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Samstag112
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-19

\(\begingroup\)
2018-06-19 15:23 - Dune in Beitrag No. 5 schreibt:
In deinem Kontext handelt es sich aber sicherlich um eine bestimmte lineare Darstellung, also um einen Homomorphismus \( G \to \mathrm{GL}(n,K) \)

Ich gehe nicht davon aus, dass mein Professor solch einen Homomorphismus meint, denn dass dieser (unter gegebenen Voraussetzungen) vollständig reduzibel ist, sagt ja bereits der Satz von Maschke aus.

2018-06-19 15:23 - Dune in Beitrag No. 5 schreibt:
(ansonsten müsstest du mal definieren, was du eigentlich mit "zerlegen" meinst).


Ich gehe davon aus, dass damit die Reduzibilität gemeint ist. Also dass es zu der Permutationsdarstellung mindestens eine weitere Unterdarstellung gibt außer der trivialen.

\(\endgroup\)


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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-19


Nagut, dann musst du wohl noch einmal mit deinem Professor klären, was genau deine Aufgabe ist. Wir können dir ja schlecht helfen, wenn du selber gar nicht weißt was du machen sollst.




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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-02


2018-06-18 23:27 - Dune in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Permutationsdarstellung einer beliebigen p-Gruppe, die durch Linksmultiplikation auf sich selbst operiert, ist über Körpern der Charakteristik p unzerlegbar (aber nicht irreduzibel).

Noch eine Ergänzung dazu: Es ist tatsächlich so, dass jede transitive Permutationsdarstellung einer endlichen p-Gruppe über einem Körper der Charakteristik p unzerlegbar ist. Das ist eine unmittelbare Folgerung aus "Green’s Indecomposability Theorem".



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