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Mathematik » Lineare Algebra » Geraden multiplizieren
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Universität/Hochschule Geraden multiplizieren
Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-21

\(\begingroup\)
In einer Vorlesung affine Geometrie sagte der Dozent fast beiläufig, man könne Geraden multiplizieren, ohne das weiter zu erläutern.

Wie soll das gehen
Man nehme

$g1=\begin{pmatrix}
 0 \\
 2
\end{pmatrix}
+
\lambda*\begin{pmatrix}
 1 \\
 1
\end{pmatrix}$

$g2=\begin{pmatrix}
 2 \\
 0
\end{pmatrix}
+
\mu*\begin{pmatrix}
 1 \\
 -2
\end{pmatrix}$

Oder in Normalform:
g1: x-y=2
g2: 2x+y=4

Was soll nun in vektorieller oder anderer Dartellung das Produkt dieser beiden Geraden seien? Wieder eine Gerade, oder eine Ebene?

\(\endgroup\)


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cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15464
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-06

\(\begingroup\)
2018-06-21 12:30 - Heinerich im Themenstart schreibt:
... Geraden multiplizieren ...

g1: x-y=2
g2: 2x+y=4

Was soll nun in vektorieller oder anderer Dartellung das Produkt dieser beiden Geraden seien? Wieder eine Gerade, oder eine Ebene?

· Wenn wir einmal multiplizieren $(x-y)(2x+y) = 2\cdot 4$ erhalten wir $
2 x^2 - x y - y^2 = 8$; hierin erkennt man die 'allgemeine Kegelschnittgleichung' $a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$.

· Löst man $y^2 +xy -2 x^2 +8 = 0$ nach $y$ auf und betrachtet die Grenzwerte für $x\to \pm \infty$ findet man zwei Asymptoten, und zwar die Parallelen $x-y = 0$ und $y+2x=0$ zu den Ausgangsgeraden.

· $y^2 -2 x^2 + x y +8 = 0$ beschreibt also eine Hyperbel.

· Wenn man allerdings genau wissen will, welche Hyperbel vorliegt, mit allen markanten Punkten und Geraden, ist das etwas aufwendig; da Koordinatentransformationen, eine Drehung und eine Verschiebung, durchgeführt werden müssen.
Wie das geht, steht hier.


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


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Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 70
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-09

\(\begingroup\)
2018-10-06 18:53 - cis in Beitrag No. 1 schreibt:
2018-06-21 12:30 - Heinerich im Themenstart schreibt:
... Geraden multiplizieren ...

g1: x-y=2
g2: 2x+y=4

Was soll nun in vektorieller oder anderer Dartellung das Produkt dieser beiden Geraden seien? Wieder eine Gerade, oder eine Ebene?

· Wenn wir einmal multiplizieren $(x-y)(2x+y) = 2\cdot 4$ erhalten wir $
2 x^2 - x y - y^2 = 8$; hierin erkennt man die 'allgemeine Kegelschnittgleichung' $a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$.

· Löst man $y^2 +xy -2 x^2 +8 = 0$ nach $y$ auf und betrachtet die Grenzwerte für $x\to \pm \infty$ findet man zwei Asymptoten, und zwar die Parallelen $x-y = 0$ und $y+2x=0$ zu den Ausgangsgeraden.

· $y^2 -2 x^2 + x y +8 = 0$ beschreibt also eine Hyperbel.

· Wenn man allerdings genau wissen will, welche Hyperbel vorliegt, mit allen markanten Punkten und Geraden, ist das etwas aufwendig; da Koordinatentransformationen, eine Drehung und eine Verschiebung, durchgeführt werden müssen.
Wie das geht, steht hier.

Ja super! Kegelschnitte sind ein bekannter Begrif schon aus der Schulzeit oder ich habs aus einem Uralt Mathebuch. In analytische Geometrie oder Lineare algebra 2 wurden sie nie erwähnt.
Und meine freche Frage in der Vorlesung beantworte der Assi, das hinge auch mit dem "aufPunkten" bei vektorieller Darstellung ab. Bei $\vec a+\lambda \vec b$ ist $\vec a$ der Aufpunkt, was aber nach deiner Erklärung gar keine Rolle spielt.
Was ein AufPunkt ist, ist klar.
Man kann g1: x-y=2 auch in $\vec a+\lambda \vec b$ im R2 auf mehrere Weisen umrechnen, das ist aber unnötig.
Ein Kegelschnitt einer Ebene durch einen Doppelkegel ergibt ja einen Punkt oder Kreis, eine Parabel, Ellipse oder Hyperbel als einen bestimmten geometrischen Ort vom Winkel des Schnittes und Art des Kegels abhängig. Und in dem Buch wurde auch genau die Umrechnung auf die Parametrisierung gebracht etwa $x^2-y^2=a$
Thx!
H
\(\endgroup\)


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