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Universität/Hochschule Brownsche Bewegung
cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-25

\(\begingroup\)
Guten Abend,

ich habe hier eine Aufgabe liegen, die meiner Intuition irgendwie widerspricht... Also habe ich auch keine besonders gute Idee, wie man das zeigen könnte. Also zu zeigen ist, dass für eine stetige Funktion $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(0)=0$ und eine Standard-Brownsche-Bewegung für alle $\varepsilon >0$

$\mathbb{P}\left( \sup\limits_{0\leq t \leq 1} |B_t-f(t)| < \varepsilon \right) >0$

gilt.


Aber wie kann das sein? Irgendwie leuchtet es mir nicht ein...

Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen. Gibt es eine anschauliche Begründung, die zu einem Beweis führt?


Liebe Grüße
\(\endgroup\)


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-28

\(\begingroup\)
Huhu cptflint,

was leuchtet Dir denn anschaulich nicht ein?

Für $f=0$ ist die Aussage nicht besonders überraschend, oder? Dank des Andre'schen Spiegelungsprinzips sollte anschaulich klar sein, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich $B_t$ nicht weiter als ein beliebiges $\epsilon$ von $0$ entfernt, höchstens exponentiell fällt (und somit bis $1$ nicht auf $0$ gefallen sein kann!).

Da $f$ stetig und somit von beschränkter Variation ist, ergibt sich kein prinzipieller Unterschied zum Spezialfall.

lg, AK.
\(\endgroup\)


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cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-28


"Andre'schen Spiegelungsprinzips"? haben wir leider nicht behandelt... Hättest Du vielleicht eine Quelle dazu? Google spuckt da irgendwie nichts aus, womit ich etwas anfangen könnte.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-28

\(\begingroup\)
Huhu,

auf die schnelle finde ich auch nichts brauchbares im großen Netz.
Hier ist eine etwas technische Formulierung in Form einer Übungsaufgabe.

Ich zitiere mal aus Kallenberg, Olav, "Foundations of Modern Probability", 2002, Springer Heidelberg New York, 2. Auflage, Lemma 13.14:

Consider a Brownian Motion $B$ and an associated optional time $\tau$. Then B has the same Distribution as the reflected process $\tilde{B}_t = B_{t \wedge \tau} - (B_t - B_{t \wedge \tau}), t \geq 0$.

Anschaulich: Wenn ich einen (stetigen) Pfad der BB aufmale und an einem Punkt einen "Zacken" habe, dann gibt es einen (genauso "wahrscheinlichen", also mit gleich viel Masse der Verteilung) Pfad, bei dem dieser Zacken nicht vorkommt, sondern der Prozess ohne Richtungsänderung (für die gleiche Länge) "weiterläuft".

lg, AK.
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-29


Huhu,

als Quelle könnte ich noch Wikipedia bieten. Das dort als Quelle angegebene Werk von Mörters und Peres findest du hier.

Gruß,

Küstenkind




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