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| Autor |
  Alte Abiaufgabe: Kugelgeometrie |
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Ex_Senior
 |  Themenstart: 2018-07-06
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Hallo,
beim Versuch folgende DDR-Abiaufgabe von 1953 zu lösen:
Ein Flugzeug fliegt von Moskau $(\varphi_1=55^\circ 46' N; \lambda_1=37^\circ 34' O)$ nach Wladiwostok $(\varphi_2=43^\circ 06' N; \lambda_2=131^\circ 36' O)$.
Zu berechnen sind:
a) die Entfernung Moskau-Wladiwostok auf dem Großkreis,
b) der Kurswinkel bei dem Abflug von Moskau,
c) die geographische Breite des nördlichsten Punktes der Strecke Moskau-Wladiwostok!
scheitere ich bei Teilaufgabe c.
Für a) habe ich 6418 km, für b) 59,6°, aber dann hört es auf.
Mit welcher Idee kann man das lösen? Mir fehlt irgendein Ansatz.
Danke und Grüße
Steffen
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-06
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Ok, hat sich erledigt. Ich verstehe es zwar noch nicht, aber richtig ist:
Die geografische Breite $\varphi_N$ des nordpolnächsten Punktes $P(\lambda_N, \varphi_N)$ einer Orthodrome mit dem Kurswinkel $\alpha$ durch den Startpunkt $A(\lambda_A, \varphi_A)$ ergibt sich nach der Neperschen Regel mit $\varphi_N = \arccos{(\sin{|\alpha|} \cos{\varphi_A})}$
im konkreten Fall = 60,95°
LG Steffen
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-06
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Huhu Steffen,
schau doch (zum Verständnis) mal hier - insbesondere die letzte Seite. Schöne Ferien!
Grüße aus dem Norden,
Küstenkind
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-06
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Hallo Küstenkind,
Danke für den Hinweis
LG Steffen
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reik
Aktiv 
Dabei seit: 06.01.2010
Mitteilungen: 158
 | Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-06
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Hi Steffen,
der Bogen auf einem Großkreis, welcher den Nordpol und die Orthodrome von Moskau nach Wladiwostok im nördlichsten Punkt schneidet, wird minimal.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27767_spherical_triangle.jpg
Für einen Kurswinkel A von Moskau aus startend, einer Seite \(c=\frac{\pi}{2}-\varphi_1\) im Bogenmaß auf einer Erde mit Radius eins und dem sphärischen Sinussatz \(\frac{\sin(A)}{\sin(a)}=\frac{\sin(C)}{\sin(c)}\) folgt \(\sin(a)=\sin(c)\cdot\frac{\sin(A)}{\sin(C)}\geq \sin(c)\cdot\sin(A)\), d.h. für einen Schnittwinkel der Großkreise \(C=\frac{\pi}{2}\) wird \(\sin(a)\) und damit \(0\leq a\leq \frac{\pi}{2}\) minimal. Es gilt \(\sin(c)=\cos(\varphi_1)\) und mit \(a=\frac{\pi}{2}-\varphi\) für die gesuchte nördliche Breite \(\varphi\) auch \(\sin(a)=\cos(\varphi)\) und daher \(\varphi=\arccos(\cos(\varphi_1)\sin(A))\).
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reik
Aktiv 
Dabei seit: 06.01.2010
Mitteilungen: 158
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-06
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Ich habe die Ungleichung auf \(\sin(a)=\sin(c)\cdot\frac{\sin(A)}{\sin(C)}\geq \sin(c)\cdot\sin(A)\) korrigiert.
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-06
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Hallo reik,
Danke für die Erklärung. Ich denke, es jetzt verstanden zu haben.
Bei der nächsten Aufgabe (von 1954):
Ein sowjetischer Eisbrecher verlegte seinen Standort aus der Gegend südlich Spitzbergens $(\varphi_1=77^\circ N; \lambda_1=18,33^\circ O)$ auf dem kürzesten Wege in die Gegend nördlich der Insel Nowaja Semlja $(\varphi_2=\varphi_1; \lambda_2=68,73^\circ O)$.
a) Wieviel Kilometer ist die Fahrtstrecke auf dem Hauptkreisbogen kürzer als die auf dem 77.Breitenkreis?
b) Wieviel Seemeilen ist der nördlichste Punkt des Großkreisbogens vom 77.Breitenkreis entfernt?
läuft es also genauso, nur dass ich dann den Abstand zu einem Punkt mit der geografischen Breite 77° für eine beliebige Länge berechne.
Das Berechnen der geografischen Länge des nördlichsten Punktes N mit
$\lambda_N = \lambda_A + \left|\arccos{\frac{\tan{\varphi_A}}{\tan{\varphi_N}}\right|$
ist wohl nicht notwendig.
LG Steffen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Ex_Senior hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ex_Senior hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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