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  Flächeninhalt: Rechteck in Kreis einbeschrieben |
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All-goa-rhythmus
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 11.09.2004
Mitteilungen: 520
Wohnort: Zürich
 |  Themenstart: 2018-07-07
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Hallo zusammen
Bei folgender Aufgabe soll der Inhalt der blauen Fläche aus a berechnet werden.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/5734_Aufgabe94.png
Ich habe bereits viele Ansätze versucht. Unter anderem Beispielsweise
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/5734_Aufgabe94_Idee.png
wo grün \(\sqrt{2}a\) lang ist und das farbig begrenzte Dreieck den Flächeninhalt \(A_{farbig}=a^2 -\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}(a-x)\) hat, \(x\) ist die orange Seite. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt vom farbigen Dreieck: \(A_{farbig}=\frac{1}{2}a(a-x)\) bringt aber nichts, die Terme heben sich gegenseitig auf. Eine andere Idee war, Dreiecke mit 45° oder 60° und 30° zu suchen, das hilft aber auch nicht weiter.
Ich wäre froh, wenn jemand eine Idee einbringen könnte.
Vielen Dank, Algo
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pzktupel
Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2446
Wohnort: Thüringen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-07
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Ich habe noch einen ...
Sei d der Durchmesser des Kreises.
b=kurze Seite
d^2 =(a^2+b^2)->b^2=(d^2-a^2)
A=a*b=a*(d^2-a^2)^0.5
Bin aber auch gespannt. Problem ist, a alleine reicht wohl nicht aus, da
der Kreisdurchmesser beliebig sein kann und dennoch a konstant...je nach dem, wo a den Kreis teilt.
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-07
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Hallo All-goa-rhythmus,
Es ist
$$\frac12\sqrt{d^2-a^2}+\frac12d=a$$Daraus kannst Du a bestimmen.
Ciao,
Thomas
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All-goa-rhythmus
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Dabei seit: 11.09.2004
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-07
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Lieber Thomas!
Tatsächlich, so klappt das.
Vielen herzlichen Dank!
Algo
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All-goa-rhythmus
Wenig Aktiv
Dabei seit: 11.09.2004
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-07
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Lieber pzktupel
Danke auch für deinen Beitrag.
Du hast geschrieben, dass du 'auch gespannt bist auf eine Lösung'... Ich habe die Lösung nun sauber geschrieben, melde dich mit einer privaten Nachricht, falls du diese auch haben möchtest. Ich würde dir die Datei dann senden...
Liebe Grüsse, Algo
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Ex_Senior
 | Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-07
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\quoteon(2018-07-07 19:36 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 4)
Ich würde dir die Datei dann senden...
\quoteoff
Du solltest Deine Lösung, weniger als geheimen Austausch, mehr -wie hier allgemein üblich- aufzeigen, so dass auch andere etwas davon haben.
Bei Bedarf kannst Du dieses Template zur Veranschaulichung nutzen:
$
\newcommand{\Viereck}[1]{%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\Radius}{1.5}
\pgfmathsetmacro{\bH}{#1*\Radius}
\begin{tikzpicture}[baseline=0em]
\path[name path=line 2] (-1.1*\Radius,-\bH) -- (1.1*\Radius,-\bH);
\path[name path=line 1] (-1.1*\Radius,\bH) -- (1.1*\Radius,\bH);
\draw[name path=Circle] (0,0) circle[radius=\Radius];
\fill[] (0,0) circle[radius=1pt];
\fill[red,name intersections={of=line 1 and Circle,total=\t}]
\foreach \s in {1,...,\t}{(intersection-\s) circle (1pt) node {}};
\path[red] (intersection-1) coordinate (C) -- (intersection-2) coordinate (D) ;
\fill[red,name intersections={of=line 2 and Circle,total=\t}]
\foreach \s in {1,...,\t}{
(intersection-\s) circle (1pt) node (P-\s) {}};
\path[red] (intersection-1) coordinate (A) -- (intersection-2) coordinate (B) ;
\draw[red, pattern=north west lines, pattern color=red] (A) rectangle (C);
% Berechnungen
\path (A) let \p1 = ($ (B) - (A) $), \n1 = {veclen(\x1,\y1)}
in -- (B) node[yshift=-1cm] {} % AB :\n1
\pgfextra{\xdef\laenge{\n1}};
%\pgfmathsetmacro{\Laenge}{\n1} % Geht nicht!
\path (B) let \p1 = ($ (C) - (B) $), \n1 = {veclen(\x1,\y1)}
in -- (B) node[] {} % BC :\n1
\pgfextra{\xdef\breite{\n1}} ;
\pgfmathsetmacro{\Breite}{\breite/28.45274}
\pgfmathsetmacro{\Laenge}{\laenge/28.45274}
\pgfmathsetmacro{\Flaeche}{\Laenge*\Breite}
\node[red, yshift=\Radius cm+3mm, anchor=center] at (0,0) {
%\Laenge,
%\Breite,
$A = \Flaeche ~\mathrm{cm}^2$
};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{array}{c c c}
\Viereck{0.5} & \Viereck{0.2} & \Viereck{0.9}
\end{array}
$
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All-goa-rhythmus
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-09
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Ich verwende a statt s für die Länge des Quadrates, ansonsten ist die Aufgabenstellung identisch.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/5734_Aufgabe.png
Beziehung zwischen der roten Strecke u und d und s:
\
(\green\ 1/2 d)^2 \black\ =(1/2 s)^2+\red\ u^2
Auflösen nach u:
\
u=sqrt((1/2 d)^2-(1/2 s)^2)
=sqrt(1/4 d^2-1/4 s^2)
=sqrt(1/4 (d^2-s^2))
= \red\ 1/2 sqrt(d^2-s^2 ) (1)
Für die Strecke s gilt:
\
\red\u \black\ +1/2 d= s
und (1) wird eingesetzt, siehe Idee von Thomas
\
\red\ 1/2 sqrt(d^2-s^2 )\black +1/2 d=s
Auflösen nach d:
\
1/2 sqrt(d^2-s^2 )+1/2 d=s
sqrt(d^2-s^2 )+d=2s
sqrt(d^2-s^2 )=2s-d
d^2-s^2=4s^2-4sd+d^2
-s^2=4s^2-4sd
4sd=5s^2
d=(5s^2)/4s=5s/4
Damit ist d nur in Abhängigkeit von s ausgedrückt. Einsetzen von d in \ 1/2 sqrt(d^2-s^2 ) ergibt eine Formel für u, nur in Abhängigkeit von s:
\
\red\ u=1/2 sqrt(d^2-s^2 )
=1/2 sqrt((5s/4)^2-s^2 )
=1/2 sqrt((25s^2)/16 -(16s^2)/16)
=1/2 sqrt((9s^2)/16)=\red\ 3s/8
Damit gilt für den Flächeninhalt der roten Fläche:
\
A=s*2 \red\ u \black =s*2*\red\ 3s/8 \black\ =3s^2/4
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All-goa-rhythmus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
All-goa-rhythmus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-09-30 16:09 U
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