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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » "Dualisierungsbeweis" (Symmetrie der Tor- und Ext-Funktoren)
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Universität/Hochschule "Dualisierungsbeweis" (Symmetrie der Tor- und Ext-Funktoren)
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2018-07-16

Hallo, ich habe eine Frage zum Beweis von der Aussage über den Ext-Funktor: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43816_IMG_1825.PNG (Bosch, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Kap.5) Warum darf man die Aussage so beweisen? Was ist genau bei der sog. "Dualizierung des Argumentes" passiert? Die erwähnte andere Aussage ist nämlich: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43816_IMG_1826.PNG


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-18

Hi, kennst du Spektralsequenzen oder derivierte Kategorien? (Edit: Habe die Frage falsch gelesen ...)


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kurtg
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  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-18

Verstehst du das Argument fr das Tensorprodukt?


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18

\quoteon(2018-07-18 06:29 - kurtg in Beitrag No. 1) kennst du Spektralsequenzen oder derivierte Kategorien? \quoteoff Noch nicht. Der Author hat erwähnt dass man 5.2/3 mit Spekrtalsequenzen zeigen kann, trotzdem hat er den rechnerischen Weg gewählt. Den Beweis vom Tor-Fall glaube ich verstehen zu haben. Man betrachte den von $M_\ast\otimes E_\ast\longrightarrow M\otimes E_\ast$ induzierten Homomorphismus $H_n(M_\ast\otimes E_\ast)\longrightarrow H_n(M\otimes E_\ast)$, und verifiziere, dass der Homomorphismus bijektiv ist. (anhand der Definition vom Doppelkomplex $M_\ast\otimes E_\ast$ und projektiven Auflösungen $M_\ast\longrightarrow M$, $E_\ast\longrightarrow E$)


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kurtg
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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-18

Wo ist das Problem beim Übertragen vom Tensorprodukt zum Hom-Funktor?


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kurtg
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-18

Ich würde derivierte Kategorien lernen, vielleicht sogar noch vor Spektralfolgen. Du musst nicht durch die ganzen Konstruktionen durchsteigen, nur die wesentlichen Ideen lernen.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21

\quoteon(2018-07-18 10:17 - kurtg in Beitrag No. 4) Wo ist das Problem beim Übertragen vom Tensorprodukt zum Hom-Funktor? \quoteoff Meinte der Author mit "Dualizing arguments", dass der Beweis vom Tor-Fall auf den Ext-Fall automatisch/mechanisch überträgt? (Oder müsste man es doch durchrechnen, bloß würde die Rechnung dann sehr ähnlich sein?) Derivierte Kategorien würde ich später lernen, also glaube ich jetzt mal, dass die Aussage mit der Theorie gezeigt werden könnte.


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kurtg
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  Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-21

\quoteon(2018-07-21 15:18 - Saki17 in Beitrag No. 6) \quoteon(2018-07-18 10:17 - kurtg in Beitrag No. 4) Wo ist das Problem beim Übertragen vom Tensorprodukt zum Hom-Funktor? \quoteoff Meinte der Author mit "Dualizing arguments", dass der Beweis vom Tor-Fall auf den Ext-Fall automatisch/mechanisch überträgt? (Oder müsste man es doch durchrechnen, bloß würde die Rechnung dann sehr ähnlich sein?) \quoteoff Kann ich nicht sagen, weil ich den Beweis des Autors nicht kenne. Aber versuch doch mal, es zu übertragen.


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2018-09-03

Versuche einmal eine Aussage über bilineare Funktoren der Form $F : \mathcal{A} \times \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ zu formulieren und beweisen, die in etwa die Form $H_n(F(M,N_*)) \cong L_n F(M,N) \cong H_n(F(M_*,N))$ hat. Hierbei sind $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ geeignete abelsche Kategorien. Wende das dann einmal an auf $\otimes : \mathsf{Mod}_R \times \mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Mod}_R$ und einmal auf $\mathrm{Hom} : \mathsf{Mod}_R^{\mathrm{op}} \times \mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Mod}_R$.


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