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Teilbarkeit » Kongruenzen » Z/2 x Z/5 isomorph zu Z/10
Thema eröffnet 2018-07-17 23:44 von
digerdiga
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Universität/Hochschule Z/2 x Z/5 isomorph zu Z/10
Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Wenn du das konsequent machst ist es schon in Ordnung. Es ist aber keine gute Notation, denn wenn man in $\IF_2$ rechnet, möchte man doch reflexartig alle 2en durch 0en ersetzen. 2en die unter Wurzeln stehen müsste man davon jetzt ausnehmen. Und sowas wie $\sqrt 2= \sqrt{2+0}=\sqrt{2+2}=\sqrt 4 = 2 = 0$ wäre auch nicht erlaubt.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
2018-07-19 16:26 - Nuramon in Beitrag No. 40 schreibt:
Wenn du das konsequent machst ist es schon in Ordnung. Es ist aber keine gute Notation, denn wenn man in $\IF_2$ rechnet, möchte man doch reflexartig alle 2en durch 0en ersetzen. 2en die unter Wurzeln stehen müsste man davon jetzt ausnehmen. Und sowas wie $\sqrt 2= \sqrt{2+0}=\sqrt{2+2}=\sqrt 4 = 2 = 0$ wäre auch nicht erlaubt.

Hat dieses System denn schon einen Namen?


Aus einem früheren Beitrag von mir

1. $X^2 + X + 1$
2. $X^2 + X$
3. $X^2 + 1$
4. $X^2$
waren die 4 Möglichkeiten quadratische Polynome hinzuschreiben. Warum sind 2-4 nun reduzibel?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Siehe Ochens Beitrag Nr. 30.
Ringe der Form $R[x]/(x^m)$ nennt man trunkierte Polynomringe.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Oha, den Beitrag hatte ich ja komplett übersehen.
Warum die anderen 3 aber reduzibel sind, steht da auch nicht.

Impliziert $F_2[X]$ eigentlich, dass nur die Koeffizienten des Polynoms $\mod 2$ unterworfen werden, oder auch sämtliche Ergebnisse, wenn ich für $X$ was konkretes einsetze (z.B. $X=1$).
Ein Element aus $F_2[X]/(X^2+X+1)$ müsste also vollständig ausgeschrieben so berechnet werden
$$
X^2 \equiv -X -1 \mod 2 \mod X^2+X+1
$$
?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Doch, da steht warum die Polynome 2.-4. reduzibel sind.

$\IF_2[X]$ ist keine Aussage, also impliziert es auch nichts.
Was passiert, wenn man für $X$ konkrete Werte einsetzt und welche Werte man eigentlich einsetzen darf, beschreibt die universelle Eigenschaft von Polynomringen (auch bekannt als Satz vom Einsetzungshomomorphismus):
Wenn $R,S$ kommutative Ringe mit 1 sind und $f:R\to S$ ein unitaler Ringhomomorphismus ist, dann gibt es für jedes Element $s\in S$ genau einen Ringhomomorphimus $\tilde f:R[X]\rightarrow S$ mit $\tilde f(X)=s$ und $\tilde f(r)=f(r)$ für alle $r\in R$.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Du meinst, weil man Faktoren rausteilen kann?

Verschwindet eigentlich $2X$ wegen $\mod 2$ ?


Zu deinem Satz:
Und $F_2[X]$ impliziert schon was, und zwar, dass zumindest die Koeffizienten nur 0 und 1 sind. Meine Frage war ob sich das auch auf den Wert des Polynoms überträgt, wenn ich was einsetze.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-07-19 18:19 - digerdiga in Beitrag No. 45 schreibt:
Du meinst, weil man Faktoren rausteilen kann?
Gegenfrage: Was heißt reduzibel?


Verschwindet eigentlich $2X$ wegen $\mod 2$ ?
Die Frage ergibt nur einen Sinn, wenn du dazu sagst in welchem Ring du $2X$ betrachten willst. $2X\in \IF_2[X]$ verschwindet, und $2X\in\IF_2[X]/(X^2+X+1)$ auch. $2X\in \IZ[X]$ und $2X\in\IZ[X]/(X^2+X+1)$ aber nicht.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
2018-07-19 18:32 - Nuramon in Beitrag No. 46 schreibt:
2018-07-19 18:19 - digerdiga in Beitrag No. 45 schreibt:
Du meinst, weil man Faktoren rausteilen kann?
Gegenfrage: Was heißt reduzibel?
Wahrscheinlich genau das...
edit: Wikipedia sagt
"In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lässt und somit nicht in „einfachere“ Polynome zerfällt"

Im Beispiel $X(X+1)$ zerfällt mein Polynom also in zwei Polynome. Der Zusatz "invertierbar" bedeutet hier genau was? Sind die Polynome $X$ und $X+1$ invertierbar oder nicht?

Warum ist es hier so wichtig, dass ich keinen Linearfaktor abspalten kann? Was passiert wenn ich $X(X+1)$ als Polynom nehme.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2018-07-19


Dann wird der Quotientenring kein Körper mehr sein.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19


Weißt du was das mit dem invertierbar auf sich hat?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Habe dein Edit erst jetzt gesehen.

Invertierbar bezieht sich hier auf die Multiplikation des Polynomringes. Im Fall von $\IF_2[X]$ sind die invertierbaren Polynome genau die konstanten Polynome (damit meine ich die Polynome vom Grad 0), die nicht das Nullpolynom sind. Ist dir klar warum?

\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Da würde ich intuitiv erstmal drauf antworten:
Durch Null teilen ist niemals gut, deshalb wird die Null rausgenommen. 1 ist in dem Ring aber tatsächlich invertierbar mit inversem Element 1.
Die einzigen Elemente die verbleiben sind $X$ und $X+1$ die nicht invertierbar sind, weil $X$ und $X+1$ für 0 und 1 jeweils Null sein können?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Achtung: Es geht um Polynome, nicht um Polynomfunktionen. Was herauskommt, wenn man irgendwas in das Polynom einsetzt ist also vollkommen irrelevant.

Wenn $R$ ein Ring mit 1 ist, dann heißt ein Element $r\in R$ invertierbar, genau dann wenn es ein $s\in R$ gibt mit $rs=1$.
Ein Polynom $p(X)\in\mathbb F_2[X]$ heißt invertierbar, genau dann, wenn $p(X)$ im Ring $R= \IF_2[X]$ invertierbar ist.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
In $F_2[X]$ wäre das Inverse von $X+1$ mit $1/(X+1)$ aber kein Polynom und in $F_2[X]/(X^2+X+1)$ hätte man $(X+1)^2 = X^2 + 1 = -X \neq 1$, $X^2 = -X-1 \neq 1$, aber $X(X+1)=-1=1$ ?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Ja. Du solltest die Nichtinvertierbarkeit von $X+1\in \IF_2[X]$ aber noch  begründen. Die Aussage "$1/(X+1)$ ist kein Polynom" ist nämlich nur eine Umformulierung der Behauptung, dass $X+1$ nicht invertierbar ist. Besser ist es mit der Definition zu arbeiten und mit dem Grad zu argumentieren.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
$$1/(1+X) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(-X\right)^k$$ hat Grad $\infty$?

Zur Definition:
Hätte $X+1$ ein Inverses, so gäbe es ein Polynom $p(X)=\sum_{k=0}^N a_k X^k$ mit $(X+1)p(X)=1$, aber $p(X)(X+1)=\sum_{k=0}^{N+1} \tilde{a}_k X^k$ ist wieder ein Polynom vom Grad >1?
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-07-19 21:21 - digerdiga in Beitrag No. 55 schreibt:
$$1/(1+X) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(-X\right)^k$$ hat Grad $\infty$?

Du müsstest schon irgendwie zeigen, dass sich diese Reihe nicht auch durch ein Polynom darstellen lässt.


Zur Definition:
Hätte $X+1$ ein Inverses, so gäbe es ein Polynom $p(X)=\sum_{k=0}^N a_k X^k$ mit $(X+1)p(X)=1$, aber $p(X)(X+1)=\sum_{k=0}^{N+1} \tilde{a}_k X^k$ ist wieder ein Polynom vom Grad >1?
So geht es.
\(\endgroup\)


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