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  Herleitung Fermi Kugel |
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NoNameTI-30x
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 |  Themenstart: 2018-07-18
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Ich habe nun schon mehrmals gelesen das für ein 3D Fermi Gas die Fermi Fläche die Gestalt einer Kugel hat.
In Wikipedia ist zu lesen:
In einem freien Elektronengas werden die Zustände im reziproken Raum energetisch sukzessive aufgefüllt, das heißt beginnend mit einem Wellenvektor ${\displaystyle k=0} $ bis zu einem Grenzwellenvektor ${\displaystyle k=k_{F}}$ werden die Zustände mit jeweils zwei Spin-Einstellungen besetzt, wobei ${\displaystyle k_{F}}$ als Fermi-Wellenvektor bezeichnet wird. Die Zustände liegen daher im reziproken Raum alle innerhalb einer Kugel, der Fermi-Kugel.
Wieso weiß der Verfasser das die Zustände innerhalb einer Kugel liegen und die Fläche nicht eine andere Gestalt hat (zum Beispiel eines Würfels)?
Vielen dank schon mal für alle Antworten.
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digerdiga
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| Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-18
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Ich denke eine Kugel nimmt man deshalb, weil im Grundzustand so die Gesamtenergie minimal wird.
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-19
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Moin
Es gilt die Dispersionsrelation für das freie Elektron in 3D $E(\vec{k}) = \frac{\hbar^2}{2\cdot m}\cdot \left| \vec{k} \right| $. Es werden die Zustände im reziproken Raum von der Energie $E = 0$ bis $E_F = \frac{\hbar^2}{2\cdot m}\cdot \left| \vec{k}_F \right|$ aufgefüllt. Da wir uns um dreidimensionalen Raum befinden, gibt es mehr als einen Vektor, der vom Ursprung aus die Länge $\left| \vec{k}_F \right|$ besitzt. Die Menge aller Wellenvektoren, mit $\left| \vec{k} \right| = \left| \vec{k}_F \right|$ bilden gerade eine Kugeloberfläche konstanter Energie. Dies erklärt, warum die Fermi-Fläche des dreidimensionalen freien Fermigases keine andere Form als eine Kugel annehmen kann.
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digerdiga
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-19
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\quoteon
Dies erklärt, warum die Fermi-Fläche des dreidimensionalen freien Fermigases keine andere Form als eine Kugel annehmen kann.
\quoteoff
Nein, weil du implizit annimmst, dass kein Zustand bis $k_F$ frei bleibt, was eben bei einem Würfel beispielsweise der Fall wäre. Hier würden Zustände bis zu einem $k_{\rm max}$ teilweise gefüllt.
Ich denke aber dass Isotropie der 3 Raumrichtungen auch ein wesentlicher Punkt ist, so wie die von mir angesprochene Minimierung der Grundzustandsenergie.
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| Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-19
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\quoteon(2018-07-19 18:10 - digerdiga in Beitrag No. 3)
\quoteon
Dies erklärt, warum die Fermi-Fläche des dreidimensionalen freien Fermigases keine andere Form als eine Kugel annehmen kann.
\quoteoff
Nein, weil du implizit annimmst, dass kein Zustand bis $k_F$ frei bleibt, was eben bei einem Würfel beispielsweise der Fall wäre. Hier würden Zustände bis zu einem $k_{\rm max}$ teilweise gefüllt.
\quoteoff
Wie würdest du denn so eine Auffüllung begründen? Wir gehen hier definitiv vom Gleichgewichtszustand aus.
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digerdiga
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| Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-19
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Also wie gesagt Gleichgewichtszustand=Grundzustand spricht schonmal für Minimierung der Energie was nunmal auch nur zu einer Kugel führt.
\quoteon
Wie würdest du denn so eine Auffüllung begründen?
\quoteoff
Hier würde ich wahrscheinlich wie gesagt Isotropie als Argument anführen.
Vielleicht gibt es ja noch weitere wichtige Symmetrien?
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| Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-19
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\quoteon(2018-07-19 20:43 - digerdiga in Beitrag No. 5)
\quoteon
Wie würdest du denn so eine Auffüllung begründen?
\quoteoff
Hier würde ich wahrscheinlich wie gesagt Isotropie als Argument anführen.
Vielleicht gibt es ja noch weitere wichtige Symmetrien?
\quoteoff
Meinst du evtl. eher Anisotropien? Natürlich kann es auch andere Formen der Fermi-Flächen geben. Deren Grundlage wird dann aber nicht mehr die Dispersionsrelation des freien Elektrons sein, wie sie eben im Modell des freien Fermi-Gases gilt. Eine Bildersuche nach Färmi-Flächen zeigt da ganz schöne Konstrukte für unterschiedliche Gitterstrukturen.
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digerdiga
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| Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-19
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\quoteon
Meinst du evtl. eher Anisotropien?
\quoteoff
Welche Anisotropien gibt es denn hier?
Ich meine eigentlich nur, dass in der Dispersionsrelation jede Raumdimension $k_x, k_y, k_z$ gleichberechtigt auftritt.
Warum sollte dann im reziproken Raum der Eckpunkt $(1,1,1)$ eines Würfels in besonderer Weise hervorstechen, wodurch ja auch bei gleicher Zustandszahl die Energie künstlich erhöht würde im Vergleich zur Kugel.
Was Besseres fällt mir auch nicht ein.
Wie würde denn die Fermifläche einer Dispersionsrelation
$$E_F \sim |k_x k_y k_z|$$
aussehen?
\quoteon
Natürlich kann es auch andere Formen der Fermi-Flächen geben. Deren Grundlage wird dann aber nicht mehr die Dispersionsrelation des freien Elektrons sein, wie sie eben im Modell des freien Fermi-Gases gilt. Eine Bildersuche nach Färmi-Flächen zeigt da ganz schöne Konstrukte für unterschiedliche Gitterstrukturen.
\quoteoff
Dann aber mit zusätzlichem (anisotropen) Potential.
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NoNameTI-30x
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21
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Die Kugelform geht offenbar nicht aus einer mathematischen Berechnung hervor, sehe ich das richtig?
Mir wurde von einem Studienkollegen erklärt, dass der Betrag von k im Grundzustand für die jeweiligen Niveaus konstant ist. Das bedeutet wiederum, dass alle Zustände mit dem höchsten Energie Niveau den selben Wellenvektor haben und daraus ergibt sich die Kugelform.
Kann man das so sagen?
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Spinor
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| Beitrag No.9, eingetragen 2018-07-27
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Stell dir einfach Vektoren vor, die in jede beliebige Richtung mit jeder beliebigen Länge bis zur länge kF im K-Raum vom Ursprung ausgehen. Fertig ist die Kugel mit Radius kF. In der Kugel befinden sich also alle Zustände mit beliebigen k<=kF egal ob du den Grundzustand also kF als Grenze annimmst oder etwas anderes. Es bleibt immer eine Kugel bzw eine hyper-dimensionale Kugel im 6N dim. Phasenraum, wenn man die Impulse und Orte betrachtet. Für sehr große Teilchenzahlen N ist dieses Volumen dann gleich der Oberfläche der Kugel, weil in hohen Dimensionen fast das gesamte Volumen in einer dünnen Schicht in der Oberfläche der Kugel liegt. Durch die Spin Entartung kommt einfach bei der Zustandssumme noch ein Faktor 2 hinzu, da alle Energiezustände doppelt besetzt werden.
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AlphaSigma
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| Beitrag No.10, eingetragen 2018-07-27
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\quoteon(2018-07-21 10:25 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 8)
Die Kugelform geht offenbar nicht aus einer mathematischen Berechnung hervor, sehe ich das richtig? ...
\quoteoff
Hallo NoNameTI-30x,
wenn eine Größe nur vom Betrag des k-Vektors abhängt und
nicht von einem Winkel zw. Vektor und einer ausgezeichneten Richtung,
dann ist diese Größe kugelsymmetrisch um den Ursprung.
Das könnte man eine mathematische (physikalische) Herleitung nennen.
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Spinor
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| Beitrag No.11, eingetragen 2018-07-29
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Da der Radius in Form des Betrages von k die einzige relevante Variable ist (da keine Richtung ausgezeichnet ist) folgt für das kugelsymmetrische Volumen V_F= 4*\pi*int(k^2,k,0,k_F)=4\pi/3*k_F^3. Man integriert also einfach über alle k bis k_F und über alle Raumwinkel.
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