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Analysis » Funktionalanalysis » Unterschied L^0 und L^∞
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Universität/Hochschule Unterschied L^0 und L^∞
Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-19

\(\begingroup\)
Hallo MathematikerInnen,

zu folgendem habe ich eine Unklarheit:
In dem in der VO verwendeten Buch werden die Lp-Räume definiert, die mir soweit eigentlich schon bekannt sind (also \( \mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, P)\) ist die Menge aller \(\mathcal{F}\)-messbaren Funktionen Z auf \((\Omega, \mathcal{F}, P)\), sodass \(||Z||_p <\infty\), wobei \(||Z||_p:=E(|Z|^p)^{1/p}\) für \(0<p<\infty\) und \(inf\{c\geq0:P(|Z|>c)=0\}\) für \(p = \infty\)).
Nun wird aber auch \(\mathcal{L}^0(\Omega, \mathcal{F}, P)\) definiert und zwar als "die Menge aller P-f.s. endlichen Zufallsvariablen".

Ich verstehe nun nicht, was der Unterschied zwischen \(L^0\) und \(L^{\infty}\) ist? Es handelt sich doch bei beidem um den Raum der Funktionen, die bis auf Nullmengen beschränkt sind oder nicht?  :-?

Danke im Voraus!
\(\endgroup\)


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BerndLiefert
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 384
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-19


Hallo,

die Definition für p=inf passt nicht.

Betrachte mal auf ]0,1] (mit Lebesgue-Maß) die Funktion x -> 1/x.



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Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19


Hallo Bernd, danke für den Hinweis, ich habe das im Beitrag nun richtiggestellt.
Meine ursprüngliche Frage ist aber noch die gleiche.



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5091
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Hallo Newmath2012,

2018-07-19 00:38 - Newmath2012 im Themenstart schreibt:
Es handelt sich doch bei beidem um den Raum der Funktionen, die bis auf Nullmengen beschränkt sind oder nicht?

Nach der Definitition, die Du hingeschrieben hast, muss eine Funktion aus ${\cal L}^0$ nur fast sicher endlich sein, aber nicht notwendigerweise fast sicher beschränkt.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.09.2013
Mitteilungen: 169
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Hallo dromedar,

danke für deine Antwort.
Was genau bedeutet denn dann die (fast-sicher-)Endlichkeit? (Also fast sicher ist mir klar, das bedeutet, überall bis auf Nullmengen. Aber was bedeutet die Endlichkeit mit mathematischen Zeichen formuliert? Offenbar kann man da keine Schranke c finden, sodass \(|Z|\leq c\) f.s. ist?
Bedeutet die Endlichkeit, dass man für alle \(\omega \in \Omega\) ein c \(\in \mathbb{R}\) finden kann, sodass \(|Z(\omega)| \leq c\) f.s. ist?)
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5091
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
2018-07-19 16:40 - Newmath2012 in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber was bedeutet die Endlichkeit mit mathematischen Zeichen formuliert?

Du kannst die Aussage völlig wörtlich lesen: Es ist

    $P(|Z|<\infty)=1$  .

Das ist natürlich nur interessant für Funktionen mit Werten in $\overline{\Bbb R}={\Bbb R}\cup\{\pm\infty\}$.

\(\endgroup\)


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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45599
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
2018-07-19 16:40 - Newmath2012 in Beitrag No. 4 schreibt:
... dass man für alle \(\omega \in \Omega\) ein c \(\in \mathbb{R}\) finden kann ...
Hi Newmath2012,
die Formulierung "für alle ω∈Ω" gehört hier nicht hin.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5091
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
2018-07-19 18:20 - Buri in Beitrag No. 6 schreibt:
die Formulierung "für alle ω∈Ω" gehört hier nicht hin.

Das hilft aber nicht weiter, denn dass die Aussage falsch wird, wenn man "für alle $\omega\in\Omega$" einfach weglässt, hat Newmath2012 doch schon geschrieben.

Liest Du eigentlich den Rest des Threads, bevor Du antwortest?
\(\endgroup\)


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BerndLiefert
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 384
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-19


Meine Antwort gilt weiterhin: Betrachte mal auf ]0,1] (mit Lebesgue-Maß) die Funktion x -> 1/x. Daran kann man gut sehen, was der Unterschied zwischen den beiden Funktionenräumen ist.



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5091
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Und ein fast identisches Beispiel, um auch mal $\overline{\Bbb R}$ ins Spiel zu bringen: $[0,1]$ mit Lebesgue-Maß und die Funktion $x\mapsto1/x$ für $x\ne0$, $0\mapsto\infty$.
\(\endgroup\)


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Newmath2012
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-20


Vielen lieben Dank für eure Hilfe, BerndLiefert und dromedar! smile
Ich habe die Beispiele nun begriffen und es macht alles Sinn  biggrin



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