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Analysis » Integration » Integralgleichung
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Universität/Hochschule Integralgleichung
julietee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-19

\(\begingroup\)
Hallo :)

Ich habe folgendes Problem zu lösen:

Sei X stetig und $L(t):= \sup\limits_{[0,t]} (X)^-$

wobei $(X)^-$ den Negativteil von X definiert sodass also L positiv ist und monoton steigt.

folgende Gleichung ist nun zu zeigen:

$\begin{align}
\int\limits_0^t (X+L) dL =0
\end{align}$
wobei das Integral im Lebesgue-Stieltjes Sinne zu verstehen ist...
 
Offensichtlich gilt falls $X(t)+L(t) > 0 \Rightarrow$ das L nicht wächst in t.

leider kriege ich es nicht hin ausführlich zu zeigen warum das Integral gleich 0 ist :/

Ich wäre sehr dankbar für den ein oder anderen Tipp :))

Liebe Grüße!
\(\endgroup\)


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julietee
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Ich hab bisher das hier versucht

Sei $Z:=X+L$ und $P_n$ eine Partitionenfolge die gegen null konvergiert sodass gilt:
$
\begin{align*}
    \int\limits_0^tZdL = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{P_n} Z(\xi_j)(L(s_j)-L(s_{j-1}))
\end{align*}$
wobei $\xi_j := arg \min\limits_{s_{j-1}\leq x\leq s_j} Z(x)\,$

Und dann hatte ich gehofft mit Hilfe der Stetigkeit von X zeigen zu können das gilt:  
$Z(\xi_j)>0$ $\Rightarrow (L(s_j)-L_(s_{j-1}))=0$

und damit das Integral 0 ist...
leider klappt dieser Schritt noch nicht :/
\(\endgroup\)


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julietee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
$L(s_j)-L(s_{j-1}) > 0$ folgt es existiert ein $p\in [s_{j-1},s_{j}]$ mit
$X(p)=L(p)$ folgt $Z(\xi_{s_j})=0 $

geht das so?
und kann ich oBdA das Integral so definieren?
\(\endgroup\)


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