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| Autor |
  Funktionentheorie: n-te Einheitswurzeln |
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Luki753
Junior 
Dabei seit: 18.07.2017
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2018-07-21
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Liebe Leute,
wenn ich zu 1+z^6 die n-ten Einheitswurzeln berechnen möchte berechnen wir in der Übung e^(6*\phi*i)=e^(\pi*i). Warum lautet es nicht beim Gleichsetzen 2*\pi*i?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 812
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-21
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Hallo,
ich verstehe nicht deine Frage und welche Übung?
Grüße,
h
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Luki753
Junior
Dabei seit: 18.07.2017
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21
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In der Übung an der Universität.
Naja, also wir haben bereits i, -i als zwei Einheitswurzeln. Dazu wollen wir die übrigen errechnen. Aber warum betrachten wir durch e^(\pi*i) nur den halben Kreis und nicht den gesamten? Weil es ausreicht, die übrigen zwei Einheitswurzeln durch Symmetrie zu erkennen?
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11547
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-21
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Hallo
\
du hast ja z^6=-1 und -1=e^(i\pi)
oder -1=e^(i\pi+k*2\pi i) dein i und -i ergibt sich für k=0 und 1
bis dann lula
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-21
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Das
\quoteon(2018-07-21 11:31 - Luki753 im Themenstart)
wenn ich zu 1+z^6 die n-ten Einheitswurzeln berechnen möchte berechnen wir in der Übung e^(6*\phi*i)=e^(\pi*i). Warum lautet es nicht beim Gleichsetzen 2*\pi*i?
\quoteoff
ist seltsam formuliert.
Einheitswurzel ist per Definition eine Zahl $z$, die für natürliche $n$ der Gleichung $z^n=1$ ("Kreisteilungsgleichung") genügt.
Zur Lösung verwendet man den Ansatz $
1 = e^{2\pi i k} = z^n
~ \text{ mit } k \in \mathbb{Z}\Rightarrow z_k = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot k }$, was für $k=0,1,2,\dots,n-1$ verschiedene Lösungen, sonst zu diesen Lösungen äquivalent-gleiche Lösungen liefert.
Hier geht es vermutlich um die Lösungen der Gleichung $z^6+1=0$, was man mit $
-z^6 = 1
~\Leftrightarrow~
e^{\pi i}z^6
= \left( e^{\frac{\pi}{6}i} z \right)^6 = 1
$ auf ein Einheitswurzelproblem zurückführen kann.
Es werden also die Einheitswurzeln von $-z^6$ (nicht von $z^6$) berechnet, die man mittels o.g. Umformung direkt hinschreiben kann.
Auch kann man für $z^6 + 1 = 0$ durch Kenntnis der Wurzeln $i$ und $-i$ die entsprechenden Linearfaktoren abspalten (Polynomdivision), was dann aber, wegen $
z^6 + 1 = 0 = (z^2 + 1) (z^4 - z^2 + 1)$, zur Lösung einer quartischen Gleichung führt.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
 | Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-21
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Gib am Besten ganz konkret die gestellte Aufgabe an.
Was meist du bspw. mit $1+z^6$?
Willst du vielleicht $1+z^6=0$ lösen oder wie ist das zu verstehen?
Das würde jedenfalls zum Ansatz passen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 812
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-21
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Ach so, ich glaub ich versteh jetzt was du meinst:
Die gegebene Gleichung lautet ja $$z^6+1=0$$ $$z^6=-1$$ Anderseits gilt $-1=e^{i\pi}$. Weiter folgt für die komplexe Zahl z (deren Betrag offenbar 1 ist) in Polardarstellung $z=e^{i\phi}$. Also ergibt sich, unter Berücksichtigung das $z^6={e^{i \phi}}^6=e^{i6 \phi}$. Insgesamt folgt dann $$e^{i6 \phi}=e^{i \phi}$$ Meintest du das?
Grüße,
h
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
Edit:
@Cis: Sehr elegante Lösung
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Luki753
Junior
Dabei seit: 18.07.2017
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21
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Vielen Dank Wirkungsquantum und cis für eure Beiträge. Habe meinen Denkfehler verstanden :D
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Luki753 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Luki753 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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