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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Differentialgleichung, Variation der Konstanten und Integral von 1/x
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Universität/Hochschule Differentialgleichung, Variation der Konstanten und Integral von 1/x
Arjihad
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-21

\(\begingroup\)
Hallo zusammen. Ich möchte folgende Differentialgleichung lösen:

\(u'(t) = 1 + \dfrac{u(t)}{t}\) mit dem Anfangswert \(u(1) = 2\).

Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung die sich durch die Methode der Variation der Konstanten lösen lässt. Die DGL ist in der Form \(u'(t) =
 u(t)a(t)+b(t)\) mit \(a(t) = \frac{1}{t}\) und \(b(t) = 1\).

Die Lösung der DGL ist dann gegeben durch die Lösungsformel:

\(u(t) = e^{A(t)}(u_0 + \displaystyle\int_1^t e^{-A(s)}b(s) \ ds)\)

Für \(A(t) = \displaystyle\int_1^t 1/s \ ds\) erhalte ich \(\log \mid t \mid\). Hier kommt auch gleich schon meine Frage. Der Betrag ist hier ja notwendig (richtig? - oder Annahme \(t > 0\) okay?). Denn in dem inneren Integral der Lösungsformel steht dann nämlich:

\(\displaystyle\int_1^t \dfrac{1}{\mid s \mid} \ ds\)

Das bekomme ich nicht integriert. Wenn ich in die Lösung schaue, steht da \(u(t) = t(\log (t)+2)\). Dieses Ergebnis erhalte  ich auch, wenn ich schreibe \(\displaystyle\int_1^t \dfrac{1}{s} \ ds = \log (t)\). Also den Betrag getrost weglasse.

Wie ist hier die korrekte Vorgehensweise? Die Lösung muss ja dann wohl irgendwo die Annahme \(t > 0\) gemacht haben (?). Aber ist dadurch mein Existenzintervall nicht eingeschränkt?  Muss man nicht noch den anderen Fall untersuchen? Aber \(\log (t)\) für \(t < 0\) geht ja nicht.
 
Muss ich dann mit dem Betrag rechnen (was nichts wird) oder schränke ich die Lösung auf \(t > 0\) ein? Dann ist das maximale Existenzintervall ja auch \(t \in (0,\infty)\). Richtig?

Danke für eure Kommentare oder Stellungnahme.


\(\endgroup\)


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Bai
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Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1170
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
Hi,

den Betrag musst du weglassen. Nach dem Duhamel-Prinzip ist das maximale Existenzintervall das von dir angegebene \((0,\infty)\).
\(\endgroup\)


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