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Physik » Kontinua » Materielle- und Feldbeschreibung von Kontinua
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Universität/Hochschule Materielle- und Feldbeschreibung von Kontinua
Teido
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-21


Hallo ihr lieben,

zurzeit befasse ich mich mit der Einführung in die Kontinuumsmechanik, und bin dabei auf ein (Mathematisches?) Verständnisproblem gestoßen.

Und zwar werden im Altenbach die materielle und die Feld Beschreibung einer Skalaren Größe wie folgt eingeführt:

Es ist:
fed-Code einblenden

Weiterhin sei fed-Code einblenden ein Skalares Feld des Kontinuums.

fed-Code einblenden

Bis hier hin soweit klar, und nun die Feldbeschreibung:

fed-Code einblenden

Mit der Vorraussetzung das zwischen den x und a eine Umkehrbar eindeutige Abbildung existiert, lassen sich beide ineinander überführen, jedoch wird mir an der Rot Markierten Stelle nicht so ganz klar, was dort gemacht wurde, demnach müsste ja gelten:

fed-Code einblenden

Leider weiß ich nicht so recht wie ich meine Frage dazu formulieren soll, so recht verstehe ich nicht warum auf einmal a = x sein soll, obwohl ,,nur`` ein Funktionaler Zusammenhang zwischen beiden besteht, aber laut der Einführung beider Bezeichnungen diese nicht gleich sind. (Außer ebend für t=t_0)

Viele Grüße,

Teido



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-22

\(\begingroup\)
Hi,
du erhältst ja mit der Ersetzung der Koordinaten aus $\phi(\mathbf{a},t)$ eigentlich eine neue Funktion $\tilde{\phi}$, die von $\mathbf{x}$ und $t$ abhängt. Und es gilt

$\tilde{\phi}=\tilde{\phi}(\mathbf{x},t)=\phi(\mathbf{a}(\mathbf{x},t),t).$

Insbesondere kannst du also nicht folgern, dass $\mathbf{a}$ gleich $\mathbf{x}$ wäre, weil das im Prinzip zwei verschiedene Funktionen sind. Der Faulheit halber bzw. weil es meistens aus dem Kontext heraus klar ist, welche Koordinaten man einsetzen muss, nennt man $\tilde{\phi}$ meistens auch einfach $\phi$.
\(\endgroup\)


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Teido
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-07


Vielen Dank für die Antwort, mittlerweile leuchtet mir das auch so weit ein.

Ich bin jedoch auf eine weitere Hürde gestoßen, und frag direkt auch mal hier bevor ich ein neues Thema aufmache.

Diesmal geht es um die Einführung des Geschwindigkeitsgradienten, wobei ich einen Zwischenschritt nicht nachvollziehen kann. (Kontinuumsmechanik, Altenbach S.83)

Ich zitiere einmal:

fed-Code einblenden

Viele Grüße,
Teido



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-08


Gut, dass du fragst - das hatte hier schon mal jemand nicht verstanden, nämlich ich ^^ (und Spock)
Siehe LinkGeschwindigkeit in Eulerscher Darstellung/Lagrange Koordinate

fed-Code einblenden




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Teido
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-08

\(\begingroup\)
Vielen dank für die Hilfe, wenigstens bin ich nicht der erste und einzige dem das ganze nicht so ganz klar wird  biggrin

fed-Code einblenden

Viele Grüße,
Teido
\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-08

\(\begingroup\)
Machen wir mal Plausibilitätsbetrachtungen:

Angenommen, wir haben $x(\xi,t)=\xi+vt$ bzw. $\xi(x,t)=x-vt$. Das entspricht z.B. einem Balken, den wir linear in $x$-Richtung verschieben, ohne ihn zu dehnen. Dann ist die materielle Geschwindigkeit $v(x,t)$ einfach gleich der Geschwindigkeit des Balkens, weil der Balken starr bleibt. Das ist in Übereinstimmung mit $v(x,t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v.$

Auch wenn wir die Formel (2) aus deinem Beitrag #4 verwenden, erhalten wir dieses Ergebnis:
Mit $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\xi}=\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}=1$ (bzw. der Einheitsmatrix) und $\frac{\partial \xi}{\partial t}=-v$ folgt das Ergebnis $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v$. Wenn wir allerdings die Formel aus dem Buch verwenden, kommt wegen $\frac{\partial x}{\partial t}=+v$ als Geschwindigkeit $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-v$ raus.

Deshalb kann die Formel aus dem Buch nicht stimmen, und ich würde vermuten, dass an den kritischen Stellen, die wir schon identifiziert haben, $x$ und $\xi$ vertauscht sind.
\(\endgroup\)


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Teido
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-08


Klingt plausibel, ein Widerspruch aus Anwendung an konkreten Beispielen, dann muss da was nicht stimmen.
Mir fehlt leider die Erfahrung um mir auf die Schnelle Beispiele auszudenken, werde mich aber die Tage nochmal unter Zunahme vom Konti-Band von Parisch dran setzen, so wird dort eine ausführliche Herleitung der Grundgleichungen versprochen.

Viele Grüße



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Teido
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18


So, das neue Semester hat angefangen und ich hab mal mit meinem Prof gefragt, es handelt sich Definitiv um ein Druckfehler und es müsste x statt a bzw. a statt x sein in der Gleichung um Buch.



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-18


Aber nicht überall, sondern nur an einigen Stellen der Gleichung (sodass man als Zwischenschritt auf die Gleichung kommt, die direkt unter meiner Gleichung (1) im Beitrag #3 steht).

Da ich mal vermute, dass dein Prof. nicht Altenbach heißt, habe ich ihn mal angeschrieben wink Vielleicht kann es ja für eine der späteren Auflagen korrigiert werden - denn der Fehler taucht so früh nach der Einführung der beiden Koordinatendarstellungen auf, an die sich der Student erst gewöhnen muss, dass er schon recht verwirrend sein kann.



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