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Analysis » Ungleichungen » Z.z. | ln(1+x^2/1+a^2) | <= | x-a |
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Universität/Hochschule J Z.z. | ln(1+x^2/1+a^2) | <= | x-a |
Physics
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  Themenstart: 2018-07-22

Hallo zusammen, anbei die Aufgabenstellung: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/49921_ln.jpg Mein Ansatz wäre das Intervall [a,x] zu betrachten. Es gilt: \(|ln(1+x^2) - ln(1+a^2)|\) \(ln(1+x^2)\) ist sowohl stetig als auch diff.bar auf ganz \(\IR\) Damit existiert nach Mittelwertsatz ein \(x_0\) so dass: \(|ln(1+x^2) - ln(1+a^2)| \leq \frac{2x_0}{1+x_0^2}*|x-a|\) Dann müsste man nur noch zeigen, dass \(\frac{2x_0}{1+x_0^2} \leq 1\) und es sollte eigentlich bewiesen sein. Stimmt die Idee so? VG, Physics

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darkhelmet
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-22

Ja. \quoteon(2018-07-22 09:21 - Physics im Themenstart) Damit existiert nach Mittelwertsatz ein \(x_0\) so dass: \(|ln(1+x^2) - ln(1+a^2)| \leq \frac{2x_0}{1+x_0^2}*|x-a|\) \quoteoff Hier muss eigentlich das $x_0$ im Betrag stehen. Was du schreibst, stimmt im nächsten Schritt natürlich auch. Aber wenn $x$ und $a$ negativ sind, liefert der Mittelwertsatz erstmal ein negatives $x_0$, für das deine Ungleichung sicher nicht stimmt.

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