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Analysis » Ungleichungen » Ungleichung mit zwei Variablen x+y-xy≤1
Autor
Universität/Hochschule J Ungleichung mit zwei Variablen x+y-xy≤1
snail
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 255
  Themenstart: 2018-07-26

Hallo, ich habe zwei Variablen \(x,y\in [0,1]\) und moechte gerne Beweisen, dass dann auch \(x+y-xy\leq 1\) gelten muss. Ich habe angenommen, dass \(0\leq x\leq y\leq 1\) gilt, da das Polynom symmetrisch ist in \(x,y\). Fuer den Fall \(y\leq \frac{1}{2}\) folgt die Aussage unmittelbar. Aber den allgemeinen Fall konnte ich nicht beweisen. Kann mir jemand helfen? Das wuerde mich freuen.

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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-26

Hallo, $x+y-xy\leq 1$ Klammere x (oder y) aus und forme nach x (oder y) um.

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Tetris
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Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-26

Hi, vielleicht nützt das: \[x+y-xy\leq 1 \quad\Leftrightarrow\quad x\cdot(1-y) \leq 1-y\] Lg, T. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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snail
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 255
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-26

Danke!

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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-26

Eine kleine Anmerkung zu den vorgeschlagenen Lösungen hier: Wenn die Aufgabenstellung eine Symmetrie aufweist - wie die hier in den Variablen $x$ und $y$ - so sollte dann auch der Lösungsweg diese nicht mutwillig zerstören, wenn es irgendwie geht. Dies ist hier leicht möglich durch den Hinweis auf die Äquivalenz $x+y-xy\le 1\Leftrightarrow 0\le (1-x)(1-y)$ wobei die Gültigkeit der rechten Ungleichung für $x,y\in[0,1]$ ja wohl offensichtlich ist. ;-)

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