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| Autor |
  Betragsungleichung |
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Ch0wde
Junior 
Dabei seit: 16.08.2018
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2018-08-16
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Hallo,
ich soll für folgende Betragsungleichung alle Lösungen x angeben:
$|x-1| > |x+1|$
Für die Beträge gilt
\[
\begin{align*}
|x-1| =
&\begin{cases}
x-1, & x \geq 1 \\
-x+1, & x<1
\end{cases}
\\
|x+1| =
&\begin{cases}
x+1, & x\leq -1 \\
-x-1, & x>-1
\end{cases}
\end{align*}
\]
Daraus folgen die drei Fälle
Fall 1: $x \geq 1$
\[
\begin{align*}
&|x-1| > |x+1| \\
&\Leftrightarrow x-1 > -x-1 \\
&\Leftrightarrow x > 0 \\\\
&\Rightarrow L_{1} = [1,\infty[
\end{align*}
\]
Fall 2: $-1 < x < 1$
\[
\begin{align*}
&|x-1| > |x+1| \\
&\Leftrightarrow -x+1 > -x-1 \\
&\Leftrightarrow 1 > -1 \\\\
&\Rightarrow L_{2} = ]-1,1[
\end{align*}
\]
Fall 3: $x \leq -1$
\[
\begin{align*}
&|x-1| > |x+1| \\
&\Leftrightarrow -x+1 > x+1 \\
&\Leftrightarrow 0 > x \\\\
&\Rightarrow L_{3} = ]-\infty,-1]
\end{align*}
\]
Für die Gesamtlösungsmenge $L$ folgt schließlich
$L = L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3} = \mathbb{R}$
Das ist jedoch offensichtlich falsch, siehe z.B. $x = 0$
Die richtige Lösung lautet $L = ]-\infty,0[$
Ich habe anscheinend bei den Fällen einen Fehler gemacht. Kann mir jemand sagen, wo das Problem liegt?
Danke!
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8385
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-16
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Hallo Ch0wde,
deine Fallunterscheidung für |x+1| ist nicht richtig. Das Ungleichheitszeichen ist verkehrt herum.
Grüße
StrgAltEntf
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Ch0wde
Junior
Dabei seit: 16.08.2018
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-16
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Danke, da hatte ich tatsächlich einen Denkfehler...
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-16
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Huhu Ch0wde,
herzlich willkommen auf dem Planeten! Hier dann noch ein Alternativvorschlag:
Da wegen den Beträgen rechts und links positive Zahlen stehen, kannst du hier äquivalent quadrieren:
\(\displaystyle (x-1)^2>(x+1)^2\)
Nun bringen wir alles nach links und wenden die dritte binomische Formel an:
\(\displaystyle (x-1)^2-(x+1)^2>0\)
\(\displaystyle (x-1-x-1)(x-1+x+1)>0\)
\(\displaystyle -2\cdot 2x>0\)
\(\displaystyle -4x>0\)
Und nun kannst du die Lösungsmenge sofort ablesen - ohne (lästige) Fallunterscheidung.
Dieser Lösungsweg ist also immer anwendbar bei Ungleichungen der Form \(|f(x)|\stackrel{\text{oder ein anderes Relationszeichen}}{<}|g(x)|\). Dass ist immer ohne Fallunterscheidung funktioniert ist leider nicht der Fall, aber es sind weniger, als wenn du die Beträge nach Definition auflöst. Falls du dieses noch mal üben möchtest, könntest du ja versuchen die Ungleichung \(|3x + 4| \geq | x-2 | \) zu lösen. Viel Erfolg!
Gruß,
Küstenkind
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Ch0wde
Junior
Dabei seit: 16.08.2018
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-19
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Danke für deine Antwort. Der Trick mit dem Quadrieren ist sehr "cool". Vor allem, weil dann mehr Verständnis für die Zusammenhänge entsteht. Deine Aufgabe habe ich so gelöst. Die Nullstellen sind die kritischen Punkte und ich habe dann geschaut, für welche $x$ die Gleichung $\ge 0$ wird.
Lösungsmenge ist also $L = ]-\infty, -3] \cup [-\frac{1}{2}, \infty[$
Habe es mit Wolfram Alpha überprüft. Jedoch bekomme ich dort für die Variante mit Beträgen die Lösungsmenge $L = ]-\infty, -3] \cup ]-\frac{1}{2}, \infty[$ (also $\frac{1}{2}$ nicht eingeschlossen) und mit Quadrieren meine Lösung. (Vgl. Beträge und Quadrieren)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-20
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Huhu,
deine Lösung ist natürlich richtig. Wieso Wolfi hier eine runde Klammer setzt verstehe ich auch nicht - zumal der Kreis im Bild ja auch ausgemalt ist. Der Weg über die Nullstellen und den Verlauf des Graphen (hier der Parabel) ist natürlich möglich, oder du faktorisierst über die dritte Binomische Formel und überlegst dir, wann beide Faktoren negativ oder beide positive sind. Nun ja - freut mich jedenfalls, dass du dich noch mit meiner Aufgabe beschäftigt hast. Gut gemacht!
Gruß,
Küstenkind
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weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
 | Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-20
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\quoteon(2018-08-19 21:33 - Ch0wde in Beitrag No. 4)
Habe es mit Wolfram Alpha überprüft. Jedoch bekomme ich dort für die Variante mit Beträgen die Lösungsmenge $L = ]-\infty, -3] \cup ]-\frac{1}{2}, \infty[$ (also $\frac{1}{2}$ nicht eingeschlossen)
\quoteoff
Frei nach Morgenstern:
Dem Wolfi schmeichelten die Fälle,
er rollte seine Augenbälle.
"Indessen", bat er, "füge doch,
zu einer Zahl ein Minus noch!"
Und ja, warum dann aber Wolfi -1/2 partout nicht dabei haben will, weiß ich leider auch nicht. :-(
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Ch0wde hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ch0wde hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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