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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Fouriertransformation von 4/(t² - 6t + 13)
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Autor
Universität/Hochschule J Fouriertransformation von 4/(t² - 6t + 13)
Pennypacker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo alle zusammen,


Ich sitze gerade als Klausurvorbereitung an der Fouriertransformation der Funktion

$f(t)=\frac{4}{t^2-6t+13}$

Dazu sollen wir die üblichen Rechenregeln ein paar gegebene Transformationen nutzen.
Ich habe die Funktion erst einmal wie folgt umgestellt:
$f(t)=\frac{4}{(t-3)^2+4}$
Die einzige gegebene Transformation die dazu Ähnlichkeit aufweist ist:
$F(\frac{1}{1+t^2})=\pi e^{-|s|}$
Was ich mit der 4 im Zähler und mit der -3 innerhalb der Klammer im Nenner mache ist klar, ich komme aber nicht darauf wie ich mit der 4 im Nenner umgehen könnte. Hat einer von euch eine Idee wie es weiter gehen könnte?


Grüße
Julian
\(\endgroup\)


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Rathalos
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Pennypacker,

Es gilt \(\frac{1}{x^2 + 4} =\frac{1}{ 4((x/2)^2 + 1)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(x/2)^2 + 1}  \)
\(\endgroup\)


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Pennypacker
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Rathalos.

Danke, genau das hat mir gefehlt.
Ich habe die Fouriertransformation nun wie folgt berechnet:

$F(\frac{1}{t^2+1})=\pi e^{-|s|}$
$F(\frac{1}{(t-3)^2+1})=e^{-3is}\pi e^{-|s|}$
$F(\frac{4}{(t-3)^2+4})=F(\frac{1}{(\frac{1}{2}(t-3))^2+1})=2e^{-\frac{3}{2}is}\pi e^{-|\frac{s}{2}|}$

Ist das soweit korrekt?

Grüße
Julian
\(\endgroup\)


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Rathalos
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Pennypacker,

Wie kommst du auf \(e^{-|\frac{s}{2}|}\). Ich komme auf \(e^{-|2s|}\). Den Rest habe ich genau so.
\(\endgroup\)


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Pennypacker
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
Oh ja das ist quatsch, ich hatte $F(f(t))(\frac{s}{2})$ berechnet, kleiner denkfehler...

Also dann komme ich auf
$2e^{-6is} \pi e^{-|2s|}$

Grüße
Julian
\(\endgroup\)


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Rathalos
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
Hallo Pennypacker,

Ich weiß nicht warum du aufeinmal \(e^{-6is}\) rausbekommst. Wenn du es Schrittweise aufschreibst wäre es besser nachvollziehbar.

Bezeichne nun \(g(t) = \frac{1}{1+t^2}   \).
Dann \(F(g(t/2 - 1.5))(s) = e^{-1.5is}F(g(t/2))(s)= 2e^{-1.5is}F(g)(2s) =2e^{-1.5is}\cdot \pi \cdot e^{-|2s|} \).
\(\endgroup\)


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Rathalos
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Mitteilungen: 23
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
Hallo Pennypacker,

Ich weiß nicht warum du aufeinmal \(e^{-6is}\) rausbekommst. Wenn du es Schrittweise aufschreibst wäre es besser nachvollziehbar.

Bezeichne nun \(g(t) = \frac{1}{1+t^2}   \).
Dann \(F(g(t/2 - 1.5))(s) = e^{-1.5is}F(g(t/2))(s)= 2e^{-1.5is}F(g)(2s) =2e^{-1.5is}\cdot \pi \cdot e^{-|2s|} \).
\(\endgroup\)


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Pennypacker
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Mitteilungen: 27
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
Hi Rathalos,

Sorry, hier einmal meine Rechnung:

Umformen:
$\frac{4}{t^2+6t+13}=\frac{4}{(t-3)^2+4}=\frac{1}{(\frac{1}{2}(t-3))^2+1}$

Schrittweise Berechnung:
$F(\frac{1}{t^2+1})=\pi e^{-|s|}$
$F(\frac{1}{(t-3)^2+1})=e^{-3is}\pi e^{-|s|}$
$F(\frac{1}{(\frac{1}{2}(t-3))^2+1})=2\cdot F(\frac{1}{(t-3)^2+1})(\frac{s}{\frac{1}{2}})=2e^{-6is}\pi e^{-|2s|}$

Ich habe also die Regeln falsch herum angewendet. Ich werde mir mal besser deine Variante angewöhnen mit dem $f(t)=g(...)$, da erkennt man das besser.

Danke und Grüße
Julian
\(\endgroup\)


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