Die Mathe-Redaktion - 20.02.2019 08:29 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2019-02-18 10:20 bb
4 neue Senioren
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2019-01-27 19:20 bb
Meine Stellungnahme zu Passwort-Leaks
Aktion im Forum
Forum-Gliederung
Zur Anmeldung
Beiträge in den Foren Suche im Forum
Frage stellen

Wartet auf Antwort2019-02-20 07:11  ?
smallest prime k-tuple - for several k and each digit - results on page 1
Wartet auf Antwort2019-02-20 06:56 Bug ?
Schriftgröße bei PN zu Beiträgen
Wartet auf Antwort2019-02-20 06:34 U ?
Mittelwert einer Funktion
Wartet auf Antwort2019-02-20 03:15 U ?
Kurvenintegral 2 Art Arbeit mit Potential berechnen
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2019-02-20 02:20 U
Latex Überschrift nach oben setzen
Wartet auf Antwort2019-02-20 00:56 U ?
Was mache ich mit meinem Master in Mathe?
Wartet darauf, dass Fragensteller die Antwort(en) liest2019-02-20 00:40 U <
komplexes Integral
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2019-02-19 23:56 U
Gibt es konsistentes Kapitalismus-Modell ?
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2019-02-19 23:36 U
Lineare Abbildungen
Wartet darauf, dass Fragensteller die Antwort(en) liest2019-02-19 23:29  <
* Kleines Primzahlwörterbuch

Zur Forum-Gliederung
Zum Mathe-Forum
Zum Schulmathe-Forum
Zum Physik-Forum
Zum Informatik-Forum
Suche im Forum

Fragen? Bedienungsanleitung
Zum Forum-FAQ

Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
  • Mein Profil
  • Neuen Artikel beginnen
  • Wartende Änd.vorschläge
  • Meine Links
  • Ordner Private Nachrichten
  • Gesendete Nachrichten
  • Private Nachricht schreiben
  • Besuchte Forumthemen
  • Meine Fragen/Themen
  • Ignorierte Forumthemen
  • Notizbuch

     Meine beobachteten Themen 



    • Mathematisch für Anfänger
    Hinweis auf unsere Bücher:

    Mathematisch für Anfänger
    Mathematisch für Anfänger


    Mathematisch für Anfänger
    Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
    Wer ist Online
    Aktuell sind 425 Gäste und 16 Mitglieder online.

    Sie können Mitglied werden:
    Klick hier.

    Über Matheplanet
    		 
    Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
    Matroids Matheplanet Forum Index
    Moderiert von Gockel Dune
    Mathematik » Topologie » Metrische äußere Maße und Borel-Mengen    		Druckversion
    Druckversion
    Autor
    Universität/Hochschule J Metrische äußere Maße und Borel-Mengen
    Dreistein
    Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 03.01.2018
    Mitteilungen: 16
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-19


    Hallo,

    ein Satz von Caratheodory besagt:
    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\mu^*$ ein äußeres Maß auf $X$. Dann gilt:
    \[\mathcal{B}(X) \subset \mathcal{A}(\mu^*) \Longleftrightarrow \mu^* \text{ ein metrisches äußeres Maß}\] wobei ich mit $\mathcal{B}(X)$ die Borel-$\sigma$-Algebra bezeichne und mit $\mathcal{A}(\mu^*)$ die $\sigma$-Algebra der bezüglich $\mu^*$ messbaren Mengen.
    Ich habe versucht die Hinrichtung zu zeigen (wird in Lehrbüchern als trivial gekennzeichnet) und bin mir in einem Schritt unsicher.

    Beweis:
    Ich muss zeigen, dass für $A,B \subset X$ mit $d(A,B) > 0$ gilt: $\mu^*(A)+\mu^*(B) \leq \mu^*(A\cup B)$. Sei nun $\varepsilon > 0$. Wähle $O_1 \subset A$ und $O_2 \subset B$ offen, $O_1 \cap O_2 = \emptyset$ mit
    \[\mu^*(A) \leq \mu^*(O_1) + \varepsilon/2\] \[\mu^*(B) \leq \mu^*(O_2) + \varepsilon/2\] Dann gilt:
    \[\mu^*(A) + \mu^*(B) \leq \mu^*(O_1) + \mu^*(O_2) + \varepsilon = \mu^*(O_1 \cup O_2) + \varepsilon \leq \mu^*(A \cup B) + \varepsilon\] $\varepsilon \rightarrow 0$ liefert die Aussage.

    Mir bereitet die Wahl von $O_1$ und $O_2$ Sorgen. Auf welchen Argumenten kann ich diese stützen oder existieren überhaupt immer solche offenen Mengen bei beliebigen metrischen Räumen?

    Vielen Dank für die Hilfe,
    Dreistein

     

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    Herijuana
    Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
    Dabei seit: 26.05.2014
    Mitteilungen: 35
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-20


    fed-Code einblenden

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    Dreistein
    Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 03.01.2018
    Mitteilungen: 16
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20


    Hallo Herijuana,

    danke, da hab ich einen großen Denkfehler gemacht!

    Ich habe nun eine Alternative gefunden, ich hoffe diese Wahl geht in Ordnung.

    Sei nun $\delta = d(A,B) > 0$. Wähle $O = \bigcup_{x \in A} B(x,\delta)$. Dann gilt $A \subset O$ und $B \cap O = \emptyset$. Da $O$ offen ist ist es auch $\mu^*$ messbar, somit ergibt die Definition der Messbarkeit:
    \[\mu^*(A \cup B) = \mu^*((A \cup B) \cap O) + \mu^*((A \cup B) \cap O^c) = \mu^*(A) + \mu^*(B)\]
    Diese Wahl erscheint mir einleuchtender, ist diese Beweisführung so richtig?

    Schöne Grüße,
    Dreistein

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    Herijuana
    Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
    Dabei seit: 26.05.2014
    Mitteilungen: 35
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-20


    Für mich sieht es so richtig aus.

    Mit freundlichen Grüßen Herijuana

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    Dreistein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
    Dreistein hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
    Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

     


    Wechsel in ein anderes Forum:
     Suchen    
     
    All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
    This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
    Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
    Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
    [Seitenanfang]