Die Mathe-Redaktion - 19.11.2018 18:50 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 809 Gäste und 26 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Metrische äußere Maße und Borel-Mengen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Metrische äußere Maße und Borel-Mengen
Dreistein
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2018
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-19

\(\begingroup\)
Hallo,

ein Satz von Caratheodory besagt:
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\mu^*$ ein äußeres Maß auf $X$. Dann gilt:
\[\mathcal{B}(X) \subset \mathcal{A}(\mu^*) \Longleftrightarrow \mu^* \text{ ein metrisches äußeres Maß}\] wobei ich mit $\mathcal{B}(X)$ die Borel-$\sigma$-Algebra bezeichne und mit $\mathcal{A}(\mu^*)$ die $\sigma$-Algebra der bezüglich $\mu^*$ messbaren Mengen.
Ich habe versucht die Hinrichtung zu zeigen (wird in Lehrbüchern als trivial gekennzeichnet) und bin mir in einem Schritt unsicher.

Beweis:
Ich muss zeigen, dass für $A,B \subset X$ mit $d(A,B) > 0$ gilt: $\mu^*(A)+\mu^*(B) \leq \mu^*(A\cup B)$. Sei nun $\varepsilon > 0$. Wähle $O_1 \subset A$ und $O_2 \subset B$ offen, $O_1 \cap O_2 = \emptyset$ mit
\[\mu^*(A) \leq \mu^*(O_1) + \varepsilon/2\] \[\mu^*(B) \leq \mu^*(O_2) + \varepsilon/2\] Dann gilt:
\[\mu^*(A) + \mu^*(B) \leq \mu^*(O_1) + \mu^*(O_2) + \varepsilon = \mu^*(O_1 \cup O_2) + \varepsilon \leq \mu^*(A \cup B) + \varepsilon\] $\varepsilon \rightarrow 0$ liefert die Aussage.

Mir bereitet die Wahl von $O_1$ und $O_2$ Sorgen. Auf welchen Argumenten kann ich diese stützen oder existieren überhaupt immer solche offenen Mengen bei beliebigen metrischen Räumen?

Vielen Dank für die Hilfe,
Dreistein

 
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Herijuana
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2014
Mitteilungen: 35
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-20


fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreistein
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2018
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20

\(\begingroup\)
Hallo Herijuana,

danke, da hab ich einen großen Denkfehler gemacht!

Ich habe nun eine Alternative gefunden, ich hoffe diese Wahl geht in Ordnung.

Sei nun $\delta = d(A,B) > 0$. Wähle $O = \bigcup_{x \in A} B(x,\delta)$. Dann gilt $A \subset O$ und $B \cap O = \emptyset$. Da $O$ offen ist ist es auch $\mu^*$ messbar, somit ergibt die Definition der Messbarkeit:
\[\mu^*(A \cup B) = \mu^*((A \cup B) \cap O) + \mu^*((A \cup B) \cap O^c) = \mu^*(A) + \mu^*(B)\]
Diese Wahl erscheint mir einleuchtender, ist diese Beweisführung so richtig?

Schöne Grüße,
Dreistein
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Herijuana
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2014
Mitteilungen: 35
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-20


Für mich sieht es so richtig aus.

Mit freundlichen Grüßen Herijuana



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreistein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dreistein hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]