Auswahl Schwarzes Brett Aktion im Forum Suche Kontakt Für Mitglieder Mathematisch für Anfänger Wer ist Online | |
Autor |
Metrische äußere Maße und Borel-Mengen |
|
Dreistein
Junior  Dabei seit: 03.01.2018 Mitteilungen: 16
 |
Hallo,
ein Satz von Caratheodory besagt:
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\mu^*$ ein äußeres Maß auf $X$. Dann gilt:
\[\mathcal{B}(X) \subset \mathcal{A}(\mu^*) \Longleftrightarrow \mu^* \text{ ein metrisches äußeres Maß}\]
wobei ich mit $\mathcal{B}(X)$ die Borel-$\sigma$-Algebra bezeichne und mit $\mathcal{A}(\mu^*)$ die $\sigma$-Algebra der bezüglich $\mu^*$ messbaren Mengen.
Ich habe versucht die Hinrichtung zu zeigen (wird in Lehrbüchern als trivial gekennzeichnet) und bin mir in einem Schritt unsicher.
Beweis:
Ich muss zeigen, dass für $A,B \subset X$ mit $d(A,B) > 0$ gilt: $\mu^*(A)+\mu^*(B) \leq \mu^*(A\cup B)$. Sei nun $\varepsilon > 0$. Wähle $O_1 \subset A$ und $O_2 \subset B$ offen, $O_1 \cap O_2 = \emptyset$ mit
\[\mu^*(A) \leq \mu^*(O_1) + \varepsilon/2\]
\[\mu^*(B) \leq \mu^*(O_2) + \varepsilon/2\]
Dann gilt:
\[\mu^*(A) + \mu^*(B) \leq \mu^*(O_1) + \mu^*(O_2) + \varepsilon = \mu^*(O_1 \cup O_2) + \varepsilon \leq \mu^*(A \cup B) + \varepsilon\]
$\varepsilon \rightarrow 0$ liefert die Aussage.
Mir bereitet die Wahl von $O_1$ und $O_2$ Sorgen. Auf welchen Argumenten kann ich diese stützen oder existieren überhaupt immer solche offenen Mengen bei beliebigen metrischen Räumen?
Vielen Dank für die Hilfe,
Dreistein
|
Profil
Quote
Link |
Herijuana
Aktiv  Dabei seit: 26.05.2014 Mitteilungen: 35
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-20
|
Profil
Quote
Link |
Dreistein
Junior  Dabei seit: 03.01.2018 Mitteilungen: 16
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20
|
Hallo Herijuana,
danke, da hab ich einen großen Denkfehler gemacht!
Ich habe nun eine Alternative gefunden, ich hoffe diese Wahl geht in Ordnung.
Sei nun $\delta = d(A,B) > 0$. Wähle $O = \bigcup_{x \in A} B(x,\delta)$. Dann gilt $A \subset O$ und $B \cap O = \emptyset$. Da $O$ offen ist ist es auch $\mu^*$ messbar, somit ergibt die Definition der Messbarkeit:
\[\mu^*(A \cup B) = \mu^*((A \cup B) \cap O) + \mu^*((A \cup B) \cap O^c) = \mu^*(A) + \mu^*(B)\]
Diese Wahl erscheint mir einleuchtender, ist diese Beweisführung so richtig?
Schöne Grüße,
Dreistein
|
Profil
Quote
Link |
Herijuana
Aktiv  Dabei seit: 26.05.2014 Mitteilungen: 35
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-20
|
Für mich sieht es so richtig aus.
Mit freundlichen Grüßen Herijuana
|
Profil
Quote
Link |
|