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Strukturen und Algebra » Ringe » Beweis der Idealgesetze
Thema eröffnet 2018-08-26 08:12 von Ehemaliges_Mitglied
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Universität/Hochschule Beweis der Idealgesetze
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  Beitrag No.40, eingetragen 2018-09-15

Hallo, \quoteon(2018-09-15 14:27 - juergen007 in


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  Beitrag No.41, eingetragen 2018-09-15

\quoteon(2018-09-15 14:27 - juergen007 in Beitrag No. 39) Ich meinte zB die Gruppe <3> die durch alle Vielfachen von 3 gebildet wird. Dies ist ein Ideal. Aber auch $<6> \subset <3>$ ist ein Ideal. aber ein anderes. Deswegen fuehrte ich den Begriff kleinstes ein. was natürlich bei endlichen Gruppen oder Untergruppen in $Z[\sqrt{d}]$ problematisch ist. Wenn deine berechtigten Berichtigungen vun endlosen Beleidigungen gefolgt werden, dann ist das nicht hilfreich. \quoteoff In \(\mathbb{Z}\) oder auch \(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\) ist die einzige endliche Untergruppe die triviale, meine ich. Meinst du vielleicht endlich erzeugt?


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ligning
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  Beitrag No.42, eingetragen 2018-09-15

\quoteon(2018-09-15 14:27 - juergen007 in Beitrag No. 39) Ich meinte zB die Gruppe <3> die durch alle Vielfachen von 3 gebildet wird. Dies ist ein Ideal. \quoteoff Aha, das klärt den Sachverhalt aber nicht wirklich auf, denn das hatte ich ja schon vermutet. Immerhin ist das ja eine Standardnotation. \quoteon Aber auch $<6> \subset <3>$ ist ein Ideal. aber ein anderes. Deswegen fuehrte ich den Begriff kleinstes ein. \quoteoff Du hast von einem kleinsten Element gesprochen. Ein kleinstes Ideal muss aber auch nicht existieren, z.B. hast du in einem Polynomring $k[x]$ die unendliche echte absteigende Kette $(1) \supsetneq (x) \supsetneq (x^2) \supsetneq \cdots$. Das traurige ist, dass du das für das vorliegende Problem gar nicht brauchst. Wann hast du denn das letzte mal versucht, die Idealaxiome von $I+J$ nachzurechnen? Du steigerst dich in irgendwelche Spezialfälle und machst kühne Verallgemeinerungen, dabei ist es alles so einfach. \quoteon Wenn deine berechtigten Berichtigungen vun endlosen Beleidigungen gefolgt werden, dann ist das nicht hilfreich. \quoteoff Was für Beleidigungen denn?


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  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16

0. Sorry ich hatte was überlesen. 1. Es war ein MU von mir das ich a' als inverses las. 2. Die entscheidende Zeile ist wohl \quoteon weil der eigentliche Beweis, der an der Stelle zu führen ist, nämlich für r(I+J)⊆I+J für alle r, ein Einzeiler ist, den man einfach so hinschreiben kann.) \quoteoff In Z so meine ich sind Primideale wie (3) Maximalideale ok das hat mit der Frage nichts zu tuen. \quoteon Du hast von einem kleinsten Element gesprochen. Ein kleinstes Ideal muss aber auch nicht existieren, z.B. hast du in einem Polynomring $k[x]$ die unendliche echte absteigende Kette $(1) \supsetneq (x) \supsetneq (x^2) \supsetneq \cdots$. \quoteoff Nein ein kleinste Ideal nicht, aber ein grösstes was von dem kleinsten Gruppenelement erzeugt wird, in dem Falle der Ring ist z.B. $Z$. Das "kleinste" Element einer unendlichen Gruppe $g\in G\subseteq Z$ macht das Maximale Ideal (g). In anderen Ringen und Gruppen gibt es keine kleinsten oder größten man müsste das dort definieren. Ist nicht Z beispielsweise Untergruppe und Ideal in $Z[\sqrt{d}]$ ? Und $Z_5$ eine endliche Untergruppe in $Z[\sqrt{d}]$? Aber es gibt Primideale in Z[x], z.B. (1+x) die immer Maximalideale sind aber nicht umgekehrt, will das aber hier nicht vertiefen. Den Einzeiler zu 2 hatte ich schon oben geschrieben find das grade nicht mehr ich kuck nochmal danke. J. P.S. Im ersten Semester hatten wir hauptsächlich Vektorräume Matritzen, GLS Deteminannten ansatzweise Gruppen Modulo Rechnung. P.P.S. Was mich interssiert wo z.B. das Gesetz oder die Regel der Idealaddition Anwendung findet?


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  Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16

\quoteon weil der eigentliche Beweis, der an der Stelle zu führen ist, nämlich für r(I+J)⊆I+J für alle r, ein Einzeiler ist, den man einfach so hinschreiben kann.) \quoteoff Einzeiler: Seien $r,s,t \in R, g\in G, h \in H, \mathfrak {I}$ besteht aus allen $sg, \mathfrak {J}$ besteht aus allen $th$. Also: alle Elemente in (I+J) sind $sg+th$. und dann : r(I+J)=$r(sg+th)=rsg+rth \in \mathfrak {I}+\mathfrak {J}$. daraus folgt r(I+J)⊆I+J. q.e.d


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  Beitrag No.45, eingetragen 2018-09-16

\quoteon(2018-09-16 10:47 - juergen007 in Beitrag No. 43) Nein ein kleinste Ideal nicht, aber ein grösstes was von dem kleinsten Gruppenelement erzeugt wird, in dem Falle der Ring ist z.B. $Z$. Das "kleinste" Element einer unendlichen Gruppe $g\in G\subseteq Z$ macht das Maximale Ideal (g). In anderen Ringen und Gruppen gibt es keine kleinsten oder größten man müsste das dort definieren. \quoteoff Also definierst du $a\preceq b :\Leftrightarrow \langle a\rangle \supseteq \langle b\rangle$? Die Relation ist ja offensichtlich i.A. nicht antisymmetrisch, aber wenn man das rausteilt, ist es vllt. trotzdem zu gebrauchen... ich vermute aber, dass du besser mit der Inklusionsordnung von Idealen arbeiten solltest. \quoteon Ist nicht Z beispielsweise Untergruppe und Ideal in $Z[\sqrt{d}]$ ? \quoteoff Nein, es ist kein Ideal, das sieht man doch sofort daran, dass ganze Zahlen multipliziert mit $\sqrt{d}$ nicht mehr ganz sind (Idealbedingung). Oder daran, dass $1\in\IZ$ ist, und das einzige Ideal, dass die 1 enthält, ist der ganze Ring. \quoteon Und $Z_5$ eine endliche Untergruppe in $Z[\sqrt{d}]$? \quoteoff Nein, das ist nichtmal eine Teilmenge, $\IZ_5$ (ich denke du meinst $\IZ/5\IZ$) besteht ja bekanntlich aus Äquivalenzklassen. Anders argumentiert enthält $\IZ/5\IZ$ ein Element der Ordnung 5, sowas gibts in $\IZ[\sqrt{d}]$ aber nicht. \quoteon P.S. Im ersten Semester hatten wir hauptsächlich Vektorräume Matritzen, GLS Deteminannten ansatzweise Gruppen Modulo Rechnung. \quoteoff Das gehört ja auch dazu, aber wenn du Mathematik studiert hast, dann hast du nicht ein halbes Jahr lang nur gerechnet, sondern auch Beweise gemacht. Es spielt aber letztendlich überhaupt keine Rolle, ob du es nie gelernt oder ob du es vergessen hast. \quoteon(2018-09-16 11:05 - juergen007 in Beitrag No. 44) \quoteon r(I+J)⊆I+J für alle r \quoteoff Einzeiler: Seien $r,s,t \in R, g\in G, h \in H, \mathfrak {I}$ besteht aus allen $sg, \mathfrak {J}$ besteht aus allen $th$. Also: alle Elemente in (I+J) sind $sg+th$. und dann : r(I+J)=$r(sg+th)=rsg+rth \in \mathfrak {I}+\mathfrak {J}$. daraus folgt r(I+J)⊆I+J. q.e.d \quoteoff Irgendwie fallen meine Bemerkungen zu deinen Beweisen sämtlich auf taube Ohren :-? Wieder derselbe Unsinn, du führst entweder Bezeichner falsch an oder nimmst einfach mal Hauptideale an. Dann ein neuer Fehler, du setzt Mengen mit Elementen gleich, das hatten wir noch nicht. Immerhin scheint der wesentliche Gedanke richtig zu sein, wenn man das so behaupten darf, auch wenn da vielleicht eine kleine Begründung fehlt. Es ist so schwer, solche Beweise zu kritisieren, wenn im Prinzip alles falsch ist und man die Gedanken erraten muss, die dahinter möglicherweise stehen. Auch bei korrekten Beweisen muss man das tun, aber da kann man davon ausgehen, dass die Gedanken richtig waren, wenn der Beweis richtig ist. Geh ich bei dir davon aus, dass du das richtige meinst? :-?


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  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16

\quoteon Also definierst du $a\prec b :\Leftrightarrow \langle a\rangle \supseteq \langle b\rangle$? Die Relation ist ja offensichtlich i.A. nicht antisymmetrisch, aber wenn man das rausteilt, ist es vllt. trotzdem zu gebrauchen... ich vermute aber, dass du besser mit der Inklusionsordnung von Idealen arbeiten solltest. \quoteoff Das Zeichen $a\prec b$ hab ich noch nie gesehn ... Was ich minimal meine ist, dass zumindest in Hauptidealringen gilt je kleiner das Erzeugende Gruppenelement, desto Grösser das Ideal. Das ist in gewisser Weise eine antisymmetrische Relation. Und was soll man rausteilen? Diese Verschachtelungbedingung hat was mit noetherschen Moduln zu tun das müsste ich nachsehen. Es gibt ein Maximal aber kein Minimalideal in noetherschen Moduln oder so pardon ich guck nochmal. https://de.wikipedia.org/wiki/Noetherscher_Ring Jede unendliche aufsteigende Kette von Untermoduln wird stationär, d. h., es gibt einen Index n , so dass $\displaystyle N_{n}=N_{n+1}=N_{n+2}=\dotsb$ Ich widerhole mal den \quoteon Einzeiler: Seien $r,s,t \in R, g\in G, h \in H, \mathfrak {I}$ besteht aus allen $sg, \mathfrak {J}$ besteht aus allen $th$. \quoteoff Du sagtest ja das ist schon falsch oder? ich weiss es nicht, muss da ein forall rein oder eine Vereingung aller $sg$ und $th$ rein? Sorry ich weiss es einfach nicht. \quoteon Also: alle Elemente in (I+J) sind $sg+th$, und dann: r(I+J)=$r(sg+th)=rsg+rth \in \mathfrak {I}+\mathfrak {J}$. daraus folgt r(I+J)⊆I+J. \quoteoff dies sg +th ist wohl inkorrekt? Wie du richtig erkanntest meine ich das rechte aber an der Notation haperts gebs zu. Jedefalls hab ich LA mit 1 bestanden und in den Klausuren auf die es nur ankam wurden fast nur Rechenaufgaben gestellt wie Gauss-algorithmus, Rechts-links dreiecks Matrix, Loesbarkeit der GLS, wenn ich recht erinnere, das ist aber ewig her 8-) Kowalski als Lehrbuch an dem er sich aber kaum orientierte..


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  Beitrag No.47, eingetragen 2018-09-16

\quoteon(2018-09-16 12:37 - juergen007 in Beitrag No. 46) Ich widerhole mal den \quoteon Einzeiler: Seien $r,s,t \in R, g\in G, h \in H, \mathfrak {I}$ besteht aus allen $sg, \mathfrak {J}$ besteht aus allen $th$. \quoteoff Du sagtest ja das ist schon falsch oder? ich weiss es nicht, muss da ein forall rein oder eine Vereingung aller $sg$ und $th$ rein? Sorry ich weiss es einfach nicht. \quoteon Also: alle Elemente in (I+J) sind $sg+th$, und dann: r(I+J)=$r(sg+th)=rsg+rth \in \mathfrak {I}+\mathfrak {J}$. daraus folgt r(I+J)⊆I+J. \quoteoff dies sg +th ist wohl inkorrekt? \quoteoff Das Problem ist deine Annahme, dass beides Hauptideale sind (denn genau das tust du, wenn du sagst, dass das eine Ideal nur Elemente der Form $sg$ und das andere nur Elemente der Form $th$ hat, da es sich in diesem Moment um feste Elemente $g$ und $h$ handelt. Es stimmt, dass dein Element in $(I+J)$ die Form $ai+bj$ für $i\in I, j\in J, a,b\in R$ besitzt, aber mehr brauchst und weisst du nicht. Du musst nicht irgendwelche additiven Untergruppen und davon erzeugte Ideale betrachten, sondern einfach ein Elemente nehmen, ein Element aus dem Ring dranklatschen und die Idealeigenschaft anwenden. Edit: Es reicht dir sogar einfach die Schreibweise $i+j$ für dein Element aus $I+J$. Der andere Fehler ist die Gleichung $r(I+J)=r(sg+th)$. Auf der linken Seite hast du die Menge die entsteht, wenn du das Ringelement $r$ mit jedem Element aus $I+J$ multiplizierst. Diese setzt du gleich mit einem beliebigen Element aus dem Ideal, an das du das Ringelement multiplizierst.


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  Beitrag No.48, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16

Oopsi jetzt finde ich nur die wikidefinition "In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge eines Rings, die das Nullelement enthält und abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion von Elementen des Ideals sowie abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit beliebigen Ringelementen ist." Und dann wurde hier noch ein andere gegeben in dem anderen Thread, muss ich suchen. Man kann das"Additionstheorem" sicher ohne Untergruppenbetrachtung und Einschränkung auf Hauptideal beweisen. Tatsächlich habe ich Ringtheorie nicht gehört, nur in der abgemagerten Form ín Algebra 1. Alle Info hab ich mir hier zusammengesucht oder in wiki oder google. Das ist natürlich kein excuse, sondern eine Herausforderung. Es ist ja $a^2+b^2$ darstellbar als $(a+bi)(a-bi), a\pm bi \in Z[i]$. z.B. $(3+4i)(3-4i)=(4+3i)(4-3i)=25=5^2$. (worauf auch z.T. der Beweis von Wiles und Satz von Kummer beruht.) $a\pm bi$ sind Primelemente in $Z[i]$, wenn a,b teilerfremd... hmm ..mein ich. Edit: $Z[i]$ ist kein Dedekindringm, da die Zerlegung in Primideale nicht eindeutig ist s.o., und nicht eindimensional. Hab ein "Tutorium Algebra" von Modler als ebook bei buecher.de bestellt. Die verknüpfen das auf kaum verständliche Weise mit Adobe DRM. Das nur nebenbei. Oder hat das jemand? Und was ist (rhetorische Frage) wenn wir 2 Ideale aus 2 verschiedenen endlichen Ringe wie $Z_6$ und $Z_7$ addieren? Oder ist das nicht zugelassen? Wahrscheinlich nicht. Nur das $Z_7$ ein primitiver Restklassenkörper und Hauptidealring ist. Und auch eine zyklische Gruppe der Addition, alle Elemente ausser 0 sind erzeugende. $Z_6$ ist nicht nullteilerfrei und hat als Ideale $\{(0),(2),(3),(4)\}$ und ganz $Z_6=(1)=(5)=(-1)$. Das ist bisschen Off-topic, aber interessant und wie ich hoffe richtig... Danke für eure Mühe! Später mehr. Ich muss in dem anderen Thread suchen. Und in L.A gab es einige Beweise linearer (un)abhängikeit. Den Begriff reguläre Gruppe $GL(n,K)$ hab ich hier überhaupt erst gehört.


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  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17

\quoteon(2018-09-16 17:44 - Erratis in Beitrag No. 47) \quoteon(2018-09-16 12:37 - juergen007 in Beitrag No. 46) \quoteon Also: alle Elemente in (I+J) sind $sg+th$, und dann: r(I+J)=$r(sg+th)=rsg+rth \in \mathfrak {I}+\mathfrak {J}$. daraus folgt r(I+J)⊆I+J. \quoteoff dies sg +th ist wohl inkorrekt? \quoteoff Das Problem ist deine Annahme, dass beides Hauptideale sind (denn genau das tust du, wenn du sagst, dass das eine Ideal nur Elemente der Form $sg$ und das andere nur Elemente der Form $th$ hat, da es sich in diesem Moment um feste Elemente $g$ und $h$ handelt. Es stimmt, dass dein Element in $(I+J)$ die Form $ai+bj$ für $i\in I, j\in J, a,b\in R$ besitzt, aber mehr brauchst und weisst du nicht. Du musst nicht irgendwelche additiven Untergruppen und davon erzeugte Ideale betrachten, sondern einfach ein Elemente nehmen, ein Element aus dem Ring dranklatschen und die Idealeigenschaft anwenden. Edit: Der andere Fehler ist die Gleichung $r(I+J)=r(sg+th)$. \quoteoff (Anm.:Verstehe dranklatschen nicht.) Ja das sehe ich. Für mein Verständnis: 0. Endlich erzeugte Ideale mit mehr als einem Erzeuger gibt es nicht in Z und Q. Frage: 1. Für ein festes g aus G, ist die Vereinigung aller $rg$ mit allen r aus Z ein Hauptideal oder nicht? Die Schreibweise rG ist dann unzulässig, nicht eindeutig. 2. Die Ringerweiterung $R=Z[\sqrt{a}]$ ist definiert als Summe der Ideale $(1)+(\sqrt{a})= n+m\sqrt{a}$, womit wir ja das Additionstheoren vorwegnehmen. (3. es sind alle $Z[\sqrt[s]{a}]$ Ideale im Ring Z,Q oder C, mein ich. Bin nicht sicher) 4. Nimm ein Ideal in R: $\mathfrak {I}=(2,\sqrt{a})$ was bedeutet: Schnitt $(2)\cap(\sqrt{a})$, oder? 5. Nimm ein anderes endlich erzeugtes Ideal in R: $\mathfrak{J}=(n,\sqrt{4b}),n,b \in Z$ was bedeutet: Schnitt $(n)\cap(2\sqrt{b})$, richtig? 6. Und dann zeige: $\mathfrak{I}+\mathfrak{J}$ ist auch ein Ideal. 7. Wie will ich $\mathfrak{I}$ und $\mathfrak{J}$ allgemeingültig in Buchstaben zusammenrechnen/addieren? 8.Um einen Beweis des Additionstheorems für endlich erzeugte Ideale zu bekommen? Und es ist ja auch noch: $\displaystyle Z[\sqrt[s]{a},\sqrt[t]{b},...]$ denkbar. Sorry, das ist sicher zu kompliziert gedacht, ich weiss es aber eben nicht einfacher. Ich musste das noch loswerden danke.


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ligning
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  Beitrag No.50, eingetragen 2018-09-17

Hier ist ja eine Menge geschrieben worden, seit meinem letzten Posting, wahrscheinlich kann ich nicht auf alles eingehen, einiges wurde ja auch schon angesprochen. \quoteon(2018-09-16 12:37 - juergen007 in Beitrag No. 46) Das Zeichen $a\prec b$ hab ich noch nie gesehn ... \quoteoff Ja, und? Ich habe doch eine Definition dafür angegeben. Ich hätte jedes andere Zeichen nehmen können, aber dieses sieht am ehesten wie ein Zeichen für eine Ordnungsrelation aus, ohne dass man es mit einer eventuell definierten herkömmlichen Ordnung $\leq$ verwechseln könnte. (Ja, ich hätte besser $\preceq$ benutzt, werd das wohl editieren.) \quoteon Was ich minimal meine ist, dass zumindest in Hauptidealringen gilt je kleiner das Erzeugende Gruppenelement, desto Grösser das Ideal. Das ist in gewisser Weise eine antisymmetrische Relation. \quoteoff Nee, das ist Quatsch, weil es eben i.A. kein "kleiner" gibt. Das hab ich dir doch vorher schon gesagt. Das ignorierst du einfach, weil es dir nicht in den Kram passt? BTW zum Begriff antisymmetrisch (man lernt das eigentlich auch im ersten Semester): https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation \quoteon Und was soll man rausteilen? \quoteoff Die durch Assoziiertheit induzierte Äquivalenz. Sorry für den Jargon, aber das war sowieso nur laut gedacht, ich hab keine Lust das zu erklären oder vorzuführen. \quoteon Diese Verschachtelungbedingung hat was mit noetherschen Moduln zu tun das müsste ich nachsehen. \quoteoff Kannst du dir schenken. \quoteon Ich widerhole mal den \quoteon Einzeiler: Seien $r,s,t \in R, g\in G, h \in H, \mathfrak {I}$ besteht aus allen $sg, \mathfrak {J}$ besteht aus allen $th$. \quoteoff Du sagtest ja das ist schon falsch oder? ich weiss es nicht, muss da ein forall rein oder eine Vereingung aller $sg$ und $th$ rein?\quoteoff Du definierst da Hauptideale. Ist dir nicht klar, dass es schön und gut ist, wenn die Summe von Hauptidealen ein Ideal ist, aber dass das nichts über die Summe von Idealen aussagt? Wenn du wenigstens versuchen würdest zu beweisen, dass die Summe von Hauptidealen ein Hauptideal ist, dann wären ja wenigstens deine eigenen Standards konsistent (aber lass das lieber, denn es stimmt nicht.) Aber vielleicht meinst du das ja auch gar nicht so. Vielleicht gehst du gar nicht davon aus, dass I und J Hauptideale sind. Vielleicht schreibst das nur komisch auf. Wer kann das wissen? Ich frag dich das hier immer wieder, du ignorierst die Frage einfach. Passt dir nicht? Versuch mal, den Beweis auf deutsch zu formulieren. So wenig Formeln wie möglich, mehr Worte. Begründungen und sonstige Gedanken als Sätze aufschreiben. Versuche, dich nicht an Formalien zu orientieren. Das Ziel ist, dass es logisch nachvollziehbar ist für jemanden, der die Formalien nicht kennt (aber weiß, was Ringe, Gruppen usw. sind, also nicht unbedingt für Kleinkinder erklären) \quoteon \quoteon Also: alle Elemente in (I+J) sind $sg+th$, und dann: r(I+J)=$r(sg+th)=rsg+rth \in \mathfrak {I}+\mathfrak {J}$. daraus folgt r(I+J)⊆I+J. \quoteoff dies sg +th ist wohl inkorrekt? \quoteoff Wie meinst du das? Das ist ein sinnvoller (wenn auch nicht ganz nützlicher) Ausdruck. Was hier falsch ist ist deine Gleichsetzung von Mengen mit Elementen. Links vom Gleichheitszeichen steht eine Menge, rechts ein Element. Automatisch falsch. Man kann erraten, was du gemeint haben könntest: $r(I+J) = \{ r(sg+th)\mid s,g\in R\}$. Falsch bleibt weiterhin, dass du es dann nur für Hauptideale beweist. Könnte auch sein, dass du es so meinst: $\{r(sg+th)\mid s,g\in R, g\in I, h\in J\}$. Dann wäre es richtiger auch für allgemeine Ideale, du musst dir dann aber die kritische Nachfrage gefallen lassen, warum du es so machst, dass es so aussieht wie mit Hauptidealen. \quoteon Wie du richtig erkanntest meine ich das rechte aber an der Notation haperts gebs zu. \quoteoff Das hab ich nicht erkannt, das ist eine Hypothese, die ich noch nicht fallen lassen möchte. Ich habe starke Zweifel daran. \quoteon Jedefalls hab ich LA mit 1 bestanden \quoteoff Schön, aber das ist ja sicher auch schon ein paar Jährchen her, und du sagst selbst, dass du nur Rechnen gelernt hast. War das ein Studium der Mathematik?> An einer Uni? Es spielt letztlich keine Rolle, ob du die Grundlagen nie gelernt hast oder ob du sie vergessen hast. Fakt ist, dass du elementare Techniken nicht beherrschst, die man normalerweise am Anfang des Studiums lernt. Schuldzuweisungen bringen niemandem etwas, nur du kannst daran etwas ändern. **** \quoteon(2018-09-16 19:02 - juergen007 in Beitrag No. 48) Tatsächlich habe ich Ringtheorie nicht gehört, nur in der abgemagerten Form ín Algebra 1. \quoteoff Na immerhin. Ich hab auch nie Ringtheorie gehört, das ist auch relativ abgefahrenes Zeug. "Algebra 1" ist ja relativ nichtssagend als Titel, aber in einer Vorlesung, in der Ringe eine Rolle spielen und in der Ringe auch definiert werden, sollte die Definition eines Ideals eigentlich fast unmittelbar darauffolgen. \quoteon "Tutorium Algebra" von Modler \quoteoff Hab das mal in der Bibliothek in der Hand gehabt, es schien mir zu sehr darauf fokussiert, Studenten bei der Klausurvorbereitung zu helfen. \quoteon Und was ist (rhetorische Frage) wenn wir 2 Ideale aus 2 verschiedenen endlichen Ringe wie $Z_6$ und $Z_7$ addieren? Oder ist das nicht zugelassen? \quoteoff Das ist nicht zugelassen, die Definition, die wir kennen, gilt nur für Teilmengen eines Rings. Man kann ansonsten natürlich definieren, was man will, z.B. die äußere direkte Summe $\IZ_6\oplus \IZ_7$ von abelschen Gruppen kann man bilden. \quoteon Und in L.A gab es einige Beweise linearer (un)abhängikeit. Den Begriff reguläre Gruppe $GL(n,K)$ hab ich hier überhaupt erst gehört. \quoteoff Wenn ich sage, dass die Grundlagen aus dem ersten Semester fehlen, meine ich weniger Wissen, sondern eher Techniken. Man muss zuerst lernen, klar zu denken, die Gedanken klar aufzuschreiben, und die aufgeschriebenen Gedanken von anderen zu erfassen. **** \quoteon(2018-09-17 00:34 - juergen007 in Beitrag No. 49) 0. Endlich erzeugte Ideale mit mehr als einem Erzeuger gibt es nicht in Z und Q. \quoteoff Ja, falls du die minimale Anzahl von Erzeugern meinst. \quoteon 1. Für ein festes g aus G, ist die Vereinigung aller $rg$ mit allen r aus Z ein Hauptideal oder nicht? Die Schreibweise rG ist dann unzulässig, nicht eindeutig. \quoteoff Das kann man nicht sagen, weil du nicht definiert hast, was $G$ ist. Falls letztlich $g\in\IZ$ ist, also $rg$ sinnvoll ist, kann man diese Vereinigung nicht bilden, da $rg$ keine Menge ist. Bitte kläre die Voraussetzungen und stelle die Frage erneut. \quoteon 2. Die Ringerweiterung $R=Z[\sqrt{a}]$ ist definiert als Summe der Ideale $(1)+(\sqrt{a})= n+m\sqrt{a}$, womit wir ja das Additionstheoren vorwegnehmen. \quoteoff Ist das so? Du hast da wesentliche Informationen unterschlagen, zB. in welchem Ring diese Ideale gebildet werden. (1) ist ja immer der ganze Ring, also vermute ich mal, dass das so Unsinn ist. Zahlentheorie ist nicht meine Stärke, ich kenn die Definitionen, aber ich erkenne nicht unbedingt, was gemeint ist, wenn es zu sehr abweicht. \quoteon (3. es sind alle $Z[\sqrt[s]{a}]$ Ideale im Ring Z,Q oder C, mein ich. Bin nicht sicher) \quoteoff Das sind keine Teilmengen von $\IZ$, also in dem Punkt: Nein. Auch nicht von $\IQ$. Und ein Körper hat immer nur zwei Ideale, sich selbst und das Nullideal. Also für $\IC$ und nochmals $\IQ$ auch: nein. \quoteon 4. Nimm ein Ideal in R: $\mathfrak {I}=(2,\sqrt{a})$ was bedeutet: Schnitt $(2)\cap(\sqrt{a})$, oder? \quoteoff Nein, es bedeutet das kleinste Ideal, was 2 und $\sqrt a$ enthält. Das ist auch die Summe $(2)+(\sqrt a)$, nicht der Durchschnitt. So allgemein jedenfalls, wenn man a passend wählt, stimmt es vielleicht zufällig, z.B. $a=4$ (aber per Konvention ist a in diesem Zusammenhang immer quadratfrei, ich nehme an, dass du mir da zustimmst.) \quoteon 5. Nimm ein anderes endlich erzeugtes Ideal in R: $\mathfrak{J}=(n,\sqrt{4b}),n,b \in Z$ was bedeutet: Schnitt $(n)\cap(2\sqrt{b})$, richtig? \quoteoff Nein, siehe oben. \quoteon 6. Und dann zeige: $\mathfrak{I}+\mathfrak{J}$ ist auch ein Ideal. \quoteoff Das kann man doch allgemein machen. \quoteon 7. Wie will ich $\mathfrak{I}$ und $\mathfrak{J}$ allgemeingültig in Buchstaben zusammenrechnen/addieren? \quoteoff $(2,\sqrt{a},n,\sqrt{4b})$? Jedenfalls formal. Mir ist nicht ganz klar, was der Ring hier sein sein soll, da i.A. J nicht in R enthalten ist. Was ist der Sinn der Übung? \quoteon 8.Um einen Beweis des Additionstheorems für endlich erzeugte Ideale zu bekommen? \quoteoff Wie soll dieses Theorem denn lauten? $(a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_m) = (a_1,\ldots,a_n, b_1, \ldots, b_m)$? Das stimmt und folgt unmittelbar aus der Charakterisierung des erzeugten Ideals als $(a_1,\ldots,a_n) = \{ r_1 a_1 + \ldots + r_n a_n \mid r_1, \ldots, r_n \in R\}$. \quoteon Sorry, das ist sicher zu kompliziert gedacht, ich weiss es aber eben nicht einfacher. \quoteoff Ja, weil du dich weigerst, die einfachen Sachen zuerst zu machen.


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  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17

Danke Das ist jetzt sehr viel. Das mit der Ringerweiterung war falsch, denn aus https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Unter-_und_Oberring Sei $\displaystyle R$ ein kommutativer Ring, $\displaystyle M$ ein R-Modul und S = R ⊕ M die direkte Summe der abelschen Gruppen. Eine Multiplikation auf S sei definiert durch: $\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx)$. usw, kann jeder selber nachlesen. Alles andere in der Idealtheorie sind Mengendefinitionen von Summe, Vereinigung, ist enthalten in, kleinstes, Schnitt.., Erzeugend Natürlich ist die Summe von Hauptidealen nicht unbedingt eins. Das würde jetzt ein Roman derart: du sagtest ich sagte du widersprachst ich meinte das bringt nichts mein Fehler, aber, aber... weiß eben nicht wo da weitermachen. Mit Additionstheorem meinte ich eben die Summe zweier Ideale in kommutativen Ringen ist wieder eins, darum gings ja. muss nachdenken. $a\prec b$ ist predecessor also Vorgänger? "Versuch mal, den Beweis auf deutsch zu formulieren. " ist eine gute Idee. J


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  Beitrag No.52, eingetragen 2018-09-17

\quoteon(2018-09-17 17:47 - juergen007 in Beitrag No. 51) Das mit der Ringerweiterung war falsch, denn aus https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Unter-_und_Oberring \quoteoff Was war falsch, was du gesagt hast oder was ich gesagt hab? \quoteon Das würde jetzt ein Roman[...] weiß eben nicht wo da weitermachen. \quoteoff Weiß ich auch nicht so genau. Du musst nicht alles beantworten, es reicht wenn du es liest und verstehst. Das meiste davon hab ich eh schon öfter gesagt, es wird Zeit, dass es mal ankommt. \quoteon $a\prec b$ ist predecessor also Vorgänger? \quoteoff Naja, man kann diese Zeichen für Relationen benutzen, wo $a\prec b$ bedeutet "a kommt vor b". Halt Ordnungsrelationen. a ist dann "ein Vorgänger" von b. Wenn du nichts über Ordnungsrelationen weißt, hol das nach, das ist essentiell. \quoteon "Versuch mal, den Beweis auf deutsch zu formulieren. " ist eine gute Idee. \quoteoff Mach das mal. Es kann außerdem nicht schaden, sich mal mit Prädikatenlogik zu befassen, das gehört auch zur mathematischen Grundausbildung.


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  Beitrag No.53, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-18

\quoteon(2018-09-17 22:21 - ligning in Beitrag No. 52) \quoteon(2018-09-17 17:47 - juergen007 in Beitrag No. 51) Das mit der Ringerweiterung war falsch, denn aus https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Unter-_und_Oberring \quoteoff Was war falsch, was du gesagt hast oder was ich gesagt hab? \quoteoff Was ich sagte war falsch, $Z[\sqrt{a}]$ ist nicht die Summe 2 er Ideale. \quoteon "Versuch mal, den Beweis auf deutsch zu formulieren. " ist eine gute Idee. \quoteoff \quoteon Mach das mal. Es kann außerdem nicht schaden, sich mal mit Prädikatenlogik zu befassen, das gehört auch zur mathematischen Grundausbildung. \quoteoff \quoteoff Noch mal eine dämliche Frage: $(2,\sqrt{d})$ in Z mit d quadratfrei ein von 2 Elementen erzeugtes Ideal ist genau was? Also (2) is $\{..0,2,4,6,..\}$. $(\sqrt{d})$ sind alle $\sqrt{d}*r, r \in Z$ und die beiden sind doch disjunkt bis auf 0 oder. Summe 2er, Schnitt 2er, kleinstes Ideal, das beide enthält das ist was anderes als Schnitt. Wie ist die genaue Notation? Darüber sah ich hier und woanders verschieden Ausführungen. Prädikatenlogik ist Mengenlehre, Kantor? Ach das kann ich nachschauen. Anm.: hab schon gesehen Prädikatenlogik sind Quantoren u.a. "Operationen". folgt, impliziert, aequivalent etc. Ideal bilden eine sog. Halbordnung auch das muss ich genauer ansehen.


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  Beitrag No.54, eingetragen 2018-09-18

\quoteon(2018-09-18 01:21 - juergen007 in Beitrag No. 53) Noch mal eine dämliche Frage: $(2,\sqrt{d})$ in Z mit d quadratfrei ein von 2 Elementen erzeugtes Ideal ist genau was? Summe 2er, Schnitt 2er, kleinstes Ideal, das beide enthält das ist was anderes als Schnitt. Wie ist die genaue Notation? \quoteoff "von ... erzeugtes Ideal" ist dasselbe wie "kleinstes Ideal, das ... enthält". Das sind nur unterschiedliche Worte für denselben Sachverhalt. Es ist außerdem wahr, dass $(2,\sqrt a) = (2) + (\sqrt a)$. Das kann man allgemein beweisen, man muss dazu hauptsächlich zeigen, dass in kommutativen Ringen gilt $(a_1, \ldots, a_n) = \{ \sum_{i=1}^n r_i a_i\mid r_i\in R\}$. (Das ist auch leicht. Solltest du vielleicht mal angehen, wenn du verstanden hast, warum Durchschnitt und Summe von Idealen wieder Ideale sind.) Der Schnitt ist was völlig anderes als die Summe. \quoteon Darüber sah ich hier und woanders verschieden Ausführungen. \quoteoff Da gibt es sicher keine großen Meinungsverschiedenheiten. \quoteon Prädikatenlogik ist Mengenlehre, Kantor? Ach das kann ich nachschauen. \quoteoff Nein, nicht Mengenlehre. Mir kommt es vor allem auf den Umgang mit Quantoren an, also "für alle" $\forall$ und "es existiert" $\exists$. \quoteon Ideal bilden eine sog. Halbordnung auch das muss ich genauer ansehen. \quoteoff Ja.


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  Beitrag No.55, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-18

\quoteon(2018-09-18 01:38 - ligning in Beitrag No. 54) Es ist außerdem wahr, dass $(2,\sqrt 2) = (2) + (\sqrt a)$. Das kann man allgemein beweisen, man muss dazu hauptsächlich zeigen, dass in kommutativen Ringen gilt $(a_1, \ldots, a_n) = \{ \sum_{i=1}^n r_i a_i\mid r_i\in R\}$. (Das ist auch leicht. Solltest du vielleicht mal angehen, wenn du verstanden hast, warum Durchschnitt und Summe von Idealen wieder Ideale sind.) Der Schnitt ist was völlig anderes als die Summe. \quoteoff Du meintest $(2,\sqrt a) = (2) + (\sqrt a)$ ? Wenn die Vereingung aller $2r + s\sqrt a, r,s \in Z$ die kleinste Struktur ist die (2) und $(\sqrt a)$ enthält. Man kann wohl zeigen dass es keine kleinere gibt und das das ein Ideal ist. später.


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  Beitrag No.56, eingetragen 2018-09-18

\quoteon(2018-09-18 01:58 - juergen007 in Beitrag No. 55) Du meintest $(2,\sqrt a) = (2) + (\sqrt a)$ ? \quoteoff Ja. \quoteon Wenn die Vereingung aller $2r + s\sqrt a, r,s \in Z$ die kleinste Struktur ist die (2) und $(\sqrt a)$ enthält. Man kann wohl zeigen dass es keine kleinere gibt und das das ein Ideal ist. später. \quoteoff Wenn du da noch Menge statt Vereinigung sagst, stimmt es fast.


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  Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20

Seien (I) und (J) Ideale in R dann ist jedes $ri \in (I)$ jedes $sj\in (J)$ Zu zeigen: $(I)+(J)\subseteq (I+J)$, und $(I+J)$ ist Ideal in R. Seien $i,i'\in (I), j,j'\in (J)$ dann $i+j \in (I+J)$ und $i'+j' \in (I)+(J)$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j' \in (I+J)$. Also dann $(I)+(J)\subseteq (I+J)$, damit (I+J) abgeschlossen bez +. Multiplikation: Seien $a,r,s\in R: i\in (I),j\in (J)$: Beh.:Die Menge alle $ri+sj$ bildet ein Ideal. $\forall a,r,s \in R,i\in (I),j\in (J): a(ri+sj)=ari+asj \in (I)+(J)\subseteq (I+J)$ wie oben, und $(I+J)$ ist abgeschlossen bez. mal. wahrscheinlich nicht formal korrekt und fehlt die andere subset Beziehung. ich lass es mal so stehen. Danke


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  Beitrag No.58, eingetragen 2018-09-20

\quoteon(2018-09-20 00:28 - juergen007 in Beitrag No. 57) Seien (I) und (J) Ideale in R dann ist jedes $ri \in (I)$ jedes $sj\in (J)$ Zu zeigen: $(I)+(J)\subseteq (I+J)$, und $(I+J)$ ist Ideal in R. \quoteoff Was bedeutet (I+J)? Was sind I und J, was bedeutet dann I+J? Alles unklar. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass du meinst, I und J sollen Teilmengen sein, und (I) bedeutet das von I erzeugte Ideal. So ergibt die Behauptung wenigstens Sinn, auch wenn man für die Mengen passendere Namen wie S und T hätte wählen können. Allerdings ist sie falsch, wie man sich an $S=\{1\}$, $T=\{-1\}$ überlegen kann. Vielleicht meinst du ja doch was anderes? :-? \quoteon Seien $i,i'\in (I), j,j'\in (J)$ dann $i+j \in (I+J)$ und $i'+j' \in (I)+(J)$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j' \in (I+J)$. \quoteoff Warum? Sieht wie ein Zirkelschluss aus. $i+j\in(I+J)$ ist genau die Aussage der Behauptung, was auch immer sie wirklich aussagt! :-D Der Rest leuchtet mir auch nicht ein. \quoteon Also dann $(I)+(J)\subseteq (I+J)$, damit (I+J) abgeschlossen bez +. \quoteoff Das ganze hat doch gar nichts mit der Abgeschlossenheit von (I+J) zu tun gehabt. Ich brech das hier mal ab, der Rest ist auch falsch, du machst wieder die gleichen Fehler wie immer. (Wobei der korrekte Beweis dafür, dass die Summe von Idealen ein Ideal ist -- also was wir die ganze Zeit suchen -- unter dem ganzen formalen Unsinn tatsächlich zu finden ist, wie ich gerade bemerke.)


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  Beitrag No.59, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20

\quoteon(2018-09-20 12:26 - ligning in Beitrag No. 58) \quoteon(2018-09-20 00:28 - juergen007 in Beitrag No. 57) Seien (I) und (J) Ideale in R dann ist jedes $ri \in (I)$ jedes $sj\in (J)$ Zu zeigen: $(I)+(J)\subseteq (I+J)$, und $(I+J)$ ist Ideal in R. \quoteoff Was bedeutet (I+J)? Was sind I und J, was bedeutet dann I+J? Alles unklar. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass du meinst, I und J sollen Teilmengen sein, und (I) bedeutet das von I erzeugte Ideal. So ergibt die Behauptung wenigstens Sinn, auch wenn man für die Mengen passendere Namen wie S und T hätte wählen können. Allerdings ist sie falsch, wie man sich an $S=\{1\}$, $T=\{-1\}$ überlegen kann. Vielleicht meinst du ja doch was anderes? :-? \quoteoff Mit $(I+J)$ meinte ich die Menge aller $ri+sj$ ich dachte das wär klar, und geaendert \quoteon Seien $i,i'\in I, j,j'\in J$ dann $i+j \in I+J$ und $i'+j' \in I+J$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j' \in (I+J)$. \quoteoff ist auch falsch oder? was (I+J) ist, meinte ich das ergebnis der addition der I und J. Und dein $S=\{1\}$, $T=\{-1\}$ widerlegt was? Pdon Meinte nicht (I+J) sondern I+J da waren ein paar () zuviel..


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  Beitrag No.60, eingetragen 2018-09-20

\quoteon(2018-09-20 14:55 - juergen007 in Beitrag No. 59) Mit $(I+J)$ meinte ich die Menge aller $ri+sj$ ich dachte das wär klar, \quoteoff Diese Menge wäre doch $(I)+(J)$. Ich schlage vor, du benutzt entweder standardisierte Notation oder schreibst explizit dazu, was du meinst. Oder beides, das wär mir noch lieber. Es besteht absolut keine Notwendigkeit, hier eine selbsterfundene Notation einzuführen. \quoteon geaendert \quoteoff Sehe nicht, was du geändert hast. Achso, das folgende Zitat ist geändert: \quoteon \quoteon Seien $i,i'\in I, j,j'\in J$ dann $i+j \in I+J$ und $i'+j' \in I+J$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j' \in (I+J)$. \quoteoff ist auch falsch oder? was (I+J) ist, meinte ich das ergebnis der addition der I und J.\quoteoff Das Ergebnis der Addition von I und J ist I+J. Was ist I+J bei dir? Ich mach mal wieder eine wohlwollende Interpretation: (I+J) ist das von I+J erzeugte Ideal. Zu zeigen ist, dass I+J = (I+J) ist, denn wenn das so ist, dann ist I+J ein Ideal. Da aber das von einer Menge S erzeuget Ideal immer "das kleinste Ideal, das S enthält" ist, ist die Inklusion $S\subseteq(S)$ trivial, und man muss sich fragen, was du da eigentlich rechnest. Interessant wäre nur die umgekehrte Richtung. Hast du das so gemeint? \quoteon Und dein $S=\{1\}$, $T=\{-1\}$ widerlegt was? \quoteoff Etwas, das du nicht gemeint hast.


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  Beitrag No.61, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20

Ich habe jetzt den ehrgeiz das bist es richtig ist, fertig zu machen. Obwohl es schwer ist derart offensichtliche Dingen wie summe 2 er ideale isr wieder eins formal niederzuschreiben. so wie 1+1 =2 ist. das gilt auch für das produkt 2er Ideale. Und ein Gegenbeispiel für die Vereinigung ist evtl. $(\sqrt3) \cup (\sqrt2)$ und ein Gegenbeispiel fuer das Komplexprodukt zu finden ist noch was anderes. Ich melde mich. Danke.


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  Beitrag No.62, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

\quoteon(2018-09-20 15:31 - ligning in Beitrag No. 60) Achso, das folgende Zitat ist geändert: \quoteon \quoteon Seien $i,i'\in I, j,j'\in J$ dann $i+j \in I+J$ und $i'+j' \in I+J$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j' \in (I+J)$. \quoteoff ist auch falsch oder? was (I+J) ist, meinte ich das ergebnis der addition der I und J.\quoteoff Das Ergebnis der Addition von I und J ist I+J. Was ist I+J bei dir? \quoteoff Vereinbarung mit I+J erzeuge ich die Menge aller Summen aller ri aus I und sj aus J. Wir wissen nicht was das ist und nennen es willkürlich K. Elemente in K entstehen durch addition beliebiger ri aus I und sj aus J. Ist K ein Ideal? Seien $i,i'\in I, j,j'\in J$ dann $i+j \in K$ und $i'+j' \in K$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j', i+i' \in I, j+j' \in J,(i+i')+(j+j') = k+k'\in K$ genauso $(i+i')-(j+j')\in K$ und $(i-i')+(j-j') \in K$. Alle diese bilden eine Menge $\mathbb K$. Solche gebildeten k, k' etc sind wie man sieht Untergruppe bez. der Addition in R. Ob sie das kleinste Ideal sind das alle i aus I und alle j aus J und alle ri und sj enthaelt, ist nicht wichtig für die Behauptung I+J ist ein Ideal $\mathfrak {K} \subset R$ das wir auch (I+J) nennen koennen. 2. Multiplikation: Seien $a,r,s\in R: i\in I,j\in J$. Beh.:Die Menge alle $ri+sj$ bildet ein Ideal. $\forall a,r,s \in R,i\in I,j\in J: a(ri+sj)=ari+asj \in K$ wie oben, und $K$ nennen wir einfach $(I+J)$ und es ist abgeschlossen bez. mal. Das rechtfertigt die Bezeichnung $(I+J) \subseteq I+J$ ist Ideal in R.


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  Beitrag No.63, eingetragen 2018-09-23

Hallo, das sieht schon besser aus. Das Wesentliche ist richtig, aber da ist auch einiges überflüssig bis falsch. Allgemeine Anmerkung: Es gibt keinen Grund, am laufenden Band neue Bezeichner einzuführen. Das $K$ ist schon grenzwertig, aber noch OK. Das $\mathbb K$ und das $\mathfrak K$ sind sinnlos. \quoteon(2018-09-23 00:32 - juergen007 in Beitrag No. 62) Seien $i,i'\in I, j,j'\in J$ dann $i+j \in K$ und $i'+j' \in K$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j', i+i' \in I, j+j' \in J,(i+i')+(j+j') = k+k'\in K$ \quoteoff Das ist zwar streng logisch gesehen richtig, aber so irreführend aufgeschrieben, dass ich relativ starke Zweifel daran habe, dass du es verstanden hast. \quoteon genauso $(i+i')-(j+j')\in K$ und $(i-i')+(j-j') \in K$. \quoteoff Beides ist zwar richtig, aber überhaupt nicht zu zeigen. \quoteon Solche gebildeten k, k' etc sind wie man sieht Untergruppe bez. der Addition in R. \quoteoff k und k' sind irgendwelche Elemente (irreführend benannt, da Element von I bzw. J), keine Untergruppen. \quoteon Ob sie das kleinste Ideal sind das alle i aus I und alle j aus J und alle ri und sj enthaelt, ist nicht wichtig für die Behauptung \quoteoff Wer sind hier "sie"? Das von I und J erzeugte Ideal ist in der Tat I+J, und das ist nicht die Behauptung, das würde also stimmen, wenn du das meinen würdest. \quoteon I+J ist ein Ideal $\mathfrak {K} \in R$ das wir auch (I+J) nennen koennen. \quoteoff Wozu? Wozu mal eben zwei neue Bezeichnungen einführen? \quoteon 2. Multiplikation: Seien $a,r,s\in R: i\in I,j\in J$. Beh.:Die Menge alle $ri+sj$ bildet ein Ideal. $\forall a,r,s \in R,i\in I,j\in J: a(ri+sj)=ari+asj \in K$ wie oben, und $K$ nennen wir einfach $(I+J)$ und es ist abgeschlossen bez. mal. Das rechtfertigt die Bezeichnung $(I+J) \subseteq I+J$ ist Ideal in R. \quoteoff Hier gilt genau das gleiche wie oben. Ich hätte mir das so vorgestellt: "1) $I+J = \{ i+j\mid i\in I, j\in J\}$ ist eine Untergruppe von $R$. Wir wenden das Untergruppenkriterium an. Es ist offensichtlich $0\in I+J$, und sind $i,i'\in I$ und $j,j'\in J$, dann gilt $(i+j) - (i'+j') = (i-i') + (j-j') \in I+J$. 2) $I+J$ ist unter Multiplikation mit Ringelementen abgeschlossen. Seien $i\in I$, $j\in J$, $r\in R$. Dann gilt $r(i+j) = ri + rj \in I+J$, da $I$ und $J$ jeweils unter Multiplikation abgeschlossen sind. Es folgt, dass $I+J$ ein Ideal ist." Bitte vergleiche mit deinem.


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  Beitrag No.64, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

Ja danke nochmal deins ist natürlich kürzer und sagt dasselbe aus ;-) Was ist denn der Unterschied von $\mathbb K$ und K? Ich will mal auf das zurück worauf es mir ankam, die Definition Galoisgruppe über den Kern eines Einsetzungshomomorphismus. Zu \quoteon Definition des Produkts. a⋅b:={a1b1+…+anbn∣n∈N;a1,…,an∈a;b1,…,bn∈b} a+b,a⋅b sind Ideale. a∪b ist eine Ideal, falls a⊆b oder b⊆a gilt. Es gelten die Inklusionen a⋅b⊆a∩b⊆a,b⊆a∪b⊆a+b mit dem Zusatz: a⋅b=a∩b⟺a+b=R. \quoteoff komme ich sicher nochmal, das ist schon wichtig.


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  Beitrag No.65, eingetragen 2018-09-23

\quoteon(2018-09-23 15:47 - juergen007 in Beitrag No. 64) Ja danke nochmal deins ist natürlich kürzer und sagt dasselbe aus ;-) \quoteoff Denk bitte trotzdem über die Unterschied nach. Warum bezeichnest du immer die Elemente eines Ideals mit $ri$ o.ä., wenn es auch $i$ täte? Dahinter steht irgendeine Verständnislücke (vmtl. unüberlegte Übertragung von der Situation eines Hauptideals). Warum hast du das Gefühl, du müsstest $K$, $(K)$, $\mathbb K$, $\mathfrak K$ unterscheiden? usw. \quoteon Was ist denn der Unterschied von $\mathbb K$ und K? \quoteoff Weiß ich nicht, du hast das doch eingeführt.


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  Beitrag No.66, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

\quoteon(2018-09-23 01:12 - ligning in Beitrag No. 63) \quoteon(2018-09-23 00:32 - juergen007 in Beitrag No. 62) Seien $i,i'\in I, j,j'\in J$ dann $i+j \in K$ und $i'+j' \in K$ dann $i+j+i'+j'=i+i'+j+j', i+i' \in I, j+j' \in J,(i+i')+(j+j') = k+k'\in K$ \quoteoff \quoteoff Besser $i+j+i'+j'=i+i'+j+j, i+i'=i1 \in I, j+j'=j1 \in J,(i+i')+(j+j')= i1+j1=k1\in I+J, (i-i') + (j-j')=i2+j2=k2 \in I+J$. Du benutzt auch nicht $(I+J)$ was ich weiter oben woanders oder bei wiki las. Wäre das ganz "falsch"? Ist die Formulierung $I+J\subseteq (I+J)$ unzulässig? Fragen: (wenn wir schon mal präzise sind) Weil du $ri$ muckiertest: Was gibts denn für Ideale? Hauptideale, deren Summe, Schnitte, einige Vereinigungen und Produkte.. und was noch? Bei allen gilt aber: Wenn $i \in I$, dann auch $ri \in I$. ( Anm. ins unreine gedacht wenn du erlaubst;): wenn wir ein oder mehrere "kleinste" ${i_1,..,i_n} \in I\subset R$ definiert haben, sind alle Elemente des I durch diese $ri_k$ erzeugt. Dazu braucht man eine Ordnungsrelation. Denn was sind die kleinsten Element in $(2,\sqrt{3}) \in Z$? Ich vermute primElemente und davon gibts viele;) ) Ich will das aber nicht totdiskutieren. Sonst Danke ! Noch eins: Ich will Ideale in Polynomringen wie $(x^2+x+1) \in Z(x)$ betrachten. $I=(x^2+x+1)$ ist nicht als Produkt darstellbar, da es irreduzibel in Z[x] ist, aber in $Z[\xi]$ ist es zerlegbar oder "endlich erzeugt", wobei $\xi$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei. geaendert: $Z[\xi]$ ist kein Polynomring, wie schreibt man das ? Ich meine alle $a_nx^n+..+a_0, a_k \in Z[\xi]$. J.


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  Beitrag No.67, eingetragen 2018-09-23

\quoteon(2018-09-23 21:33 - juergen007 in Beitrag No. 66) Besser $i+j+i'+j'=i+i'+j+j, i+i'=i1 \in I, j+j'=j1 \in J,(i+i')+(j+j')= i1+j1=k1\in I+J$ \quoteoff OK, denke ich. Immer noch ein bisschen komisch aufgeschrieben. Orientier dich an meinem Aufschrieb. \quoteon $(i-i') + (j-j')=i2+j2=k2 \in I+J$. \quoteoff Fast OK: Es ist nicht ganz klar, wozu du das sagst. Es fehlt noch ein Nachweis, dass $I+J$ unter Inversenbildung abgeschlossen ist. Ich hab eigentlich keine Lust, zm x-ten Male das Untergruppenkriterium durchzukauen, andere nehmen dafür ein gutes Stundenhonorar :/ na was solls: Entweder du gehst über die Definition einer Untergruppe, dh du zeigst dass I+J die 0 enthält, dass es unter Addition ($i+j+i'+j'\in I+J$) und unter Inversenbildung ($-(i+j)\in I$) abgeschlossen ist, oder du benutzt das Untergruppenkriterium und zeigst, dass I+J die 0 enthält und dass $i+j - (i'+j')\in I+J$ ist. Beide sind äquivalent. Du hast jetzt den Teil einer Begründung hingeschrieben, warum die letztere Aussage gilt, ohne anzusagen wozu. Mach dir vorher einen Plan, was du zeigen willst, und tu dann genau das. Nicht einfach irgendwelche Aussagen hinschreiben, die dir gerade einfallen. \quoteon Du benutzt auch nicht $(I+J)$ was ich weiter oben woanders oder bei wiki las. Wäre das ganz "falsch"? Ist die Formulierung $I+J\subseteq (I+J)$ unzulässig? \quoteoff Ich weiß ja gar nicht, was das heißen soll. Weißt du es denn? Ich hatte spekuliert, dass es "erzeugtes Ideal" heißt, dann wär das natürlich nicht unzulässig, aber zumindest wäre diese Inklusion trivial. Du hast da irgendwas kompliziertes hingeschrieben, um das zu beweisen. Aber selbst, falls es das heißt, seh hier keinen Anlass, es zu verwenden. \quoteon Fragen: (wenn wir schon mal präzise sind) Weil du $ri$ muckiertest: Was gibts denn für Ideale? Hauptideale, deren Summe, Schnitte, einige Vereinigungen und Produkte.. und was noch? \quoteoff Ich kenne keine vollständige Klassifikation von Idealen. Ist das wichtig? Es gibt jedenfalls auch Ideale, die nicht endlich erzeugt sind, sonst bräuchte man den Begriff des noetherschen Rings ja nicht. \quoteon Bei allen gilt aber: Wenn $i \in I$, dann auch $ri \in I$. \quoteoff Natürlich. Ich sag ja auch nicht, dass das falsch ist. Ich sage, dass die Tatsache, dass du das so schreibst, darauf hindeutet, dass du etwas nicht richtig verstanden hast. \quoteon ( Anm. ins unreine gedacht wenn du erlaubst;): wenn wir ein oder mehrere "kleinste" ${i_1,..,i_n} \in I\subset R$ definiert haben, sind alle Elemente des I durch diese $ri_k$ erzeugt. Dazu braucht man eine Ordnungsrelation. Denn was sind die kleinsten Element in $(2,\sqrt{3}) \in Z$? Ich vermute primElemente und davon gibts viele;) ) \quoteoff Das könnte richtig gedacht sein (außer natürlich dass $(2,\sqrt 3)$ kein Ideal von $\IZ$ ist :-? :-? ), aber man muss da schon ziemlich aufpassen, dass man auch die richtigen Voraussetzungen hat. Ist der Ring wenigstens nullteilerfrei, ist der faktoriell, euklidisch, ein Hauptidealring? \quoteon Noch eins: Ich will Ideale in Polynomringen wie $(x^2+x+1) \in Z(x)$ betrachten. \quoteoff Du meinst wohl $\IZ[x]$. \quoteon $I=(x^2+x+1)$ ist nicht als Produkt darstellbar, da es irreduzibel in Z ist, aber in $Z[\xi]$ ist es zerlegbar oder "endlich erzeugt", wobei $\xi$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei. Ist es dann ein Hauptideal in Z, aber nicht in $Z[\xi]$? \quoteoff Das ist keine sinnvoll gestellte Frage, da $I$ ein Ideal von $\IZ[x]$ ist und nicht von $\IZ$ oder von $\IZ[\xi]$. Vielleicht meinst du "über" $\IZ[\xi]$, dh du betrachtest $(x^2+x+1)\subseteq\IZ[\xi][x]$. Das ist aber auch ein anderes Ideal. Nicht nur formal, es enthält andere Elemente als $(x^2+x+1)\subseteq\IZ[x]$. (Man sollte bei der Notation für "erzeugtes Ideal" vielleicht mit angeben, auf welchen Ring man sich bezieht, das ist aber ziemlich unüblich.) Ansonsten hast du wahrscheinlich recht. Wie gesagt, du weißt mehr über Galoistheorie als ich. Wenn man das Polynom über $\IZ[\xi]$ faktorisieren kann, dann ist das davon erzeugte Ideal das Produkt von den zwei Idealen, die von den Faktoren erzeugt werden. Falls ich mich nicht irre. \quoteoff


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  Beitrag No.68, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-01

\quoteon(2018-08-16 21:07 - TomTom314 in Beitrag No. 80) 1) Was ist zu zeigen? 2) Rechnung/Beweis. Zu den anderen Mengen $\mathfrak{a+b, a\cdot b, a\cup b}$. Definition des Produkts. $\mathfrak{a\cdot b}:=\{a_1b_1 + \ldots + a_nb_n\mid n\in\IN;a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{a};b_1, \ldots, b_n \in \mathfrak{b}\}$ $\mathfrak{a+b, a\cdot b}$ sind Ideale. $\mathfrak{a\cup b}$ ist eine Ideal, falls \(\mathfrak{a\subseteq b}\) oder \(\mathfrak{b\subseteq a}\) gilt. Es gelten die Inklusionen $\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ mit dem Zusatz: \(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\). \quoteoff Zu zeigen : $\mathfrak{a\cdot b}:=\{a_1b_1 + \ldots + a_nb_n\mid n\in\IN;a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{a};b_1, \ldots, b_n \in \mathfrak{b}\}$ ist ein Ideal. Ein Ideal $\mathfrak{a}$ eines Ringes ist eine additive Untergruppe von R, so dass aus $r\in R, a \in \mathfrak{a}$ stets $ra \in \mathfrak{a}$ folgt. InversenBildung: man nehme beliebige $\displaystyle a_i \in \mathfrak{a}, b_i \in \mathfrak{b}$. dann ist nach Def. jedes $\displaystyle c=\sum_{i \geq 0,\atop j \geq 0} a_ib_j \in \mathfrak{a\cdot b}$. Das Inverse von c ist $\displaystyle -c =-\sum_{i \geq 0,\atop j \geq 0} a_ib_j =\sum_{i \geq 0,\atop j \geq 0} (-a_i)b_j$. $c' \in \mathfrak{a\cdot b}$, da alle $-a_i \in \mathfrak{a}, b_i \in \mathfrak{b}$.


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  Beitrag No.69, eingetragen 2018-10-01

Da fehlt aber noch einiges, oder ist das erstmal ein Zwischenbericht?


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  Beitrag No.70, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-01

\quoteon(2018-10-01 16:16 - juergen007 in Beitrag No. 68) \quoteon(2018-08-16 21:07 - TomTom314 in Beitrag No. 80) $\mathfrak{a\cup b}$ ist eine Ideal, falls \(\mathfrak{a\subseteq b}\) oder \(\mathfrak{b\subseteq a}\) gilt. Es gelten die Inklusionen $\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ mit dem Zusatz: \(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\). \quoteoff \quoteoff Die letzten 3 Zeilen fehlen noch ja. Das naechste ist $\displaystyle \mathfrak{a\cdot b} \subseteq \mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$.


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  Beitrag No.71, eingetragen 2018-10-01

Ich meine, es fehlt einiges zu dem Beweis, dass $\mathfrak a\cdot\mathfrak b$ ein Ideal ist.


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  Beitrag No.72, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-01

Nach Def. ist jedes $\displaystyle c=\sum_{i \geq 0,\atop j \geq 0} a_ib_j \in \mathfrak{a\cdot b}$. Zu zeigen noch, wenn $c\in \mathfrak{a\cdot b}$, dann $rc \in\mathfrak{a\cdot b}$ $\displaystyle rc=r(\sum_{i \geq 0,\atop j \geq 0} a_ib_j) =\sum_{i \geq 0,\atop j \geq 0} r a_i\cdot b_j$. nach Vorrr.: ist $ra_i\in \mathfrak{a}$ und $r a_i\cdot b_j \in \mathfrak{a\cdot b}$, also ist $\mathfrak{a\cdot b}$ wg. Inversen- und Produktbildung ein Ideal in R.


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ligning
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  Beitrag No.73, eingetragen 2018-10-01

Und was ist mit Summen?


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  Beitrag No.74, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-01

\quoteon(2018-10-01 19:31 - ligning in Beitrag No. 73) Und was ist mit Summen? \quoteoff Ich komme mal zurück auf (*)$\displaystyle\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ In Deutsch: Das Produkt der Ideale $\displaystyle\mathfrak{a}$ und $\displaystyle\mathfrak{b}$ ist eins und Teilmenge des Schnittes $\displaystyle\mathfrak{a\cap b}$ und dieser Schnitt ist enthalten in $\mathfrak{a}$. Logisch so ist der Schnitt definiert. Er enthält nur das was in beiden/allen geschnittenen Mengen enthalten ist. $\displaystyle\mathfrak{b \subseteq a\cup b}$ Natuerlich denn so ist die Vereinigung definiert. Dann $\displaystyle\mathfrak{b\subseteq a+b}$ ist offenbar wenn man bedenkt, wie $\displaystyle\mathfrak{a+b}$ definiert ist. Ich frage nur ob meine Les-Art der o.a. Zeile (*) richtig ist?


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  Beitrag No.75, eingetragen 2018-10-01

Weiß ich nicht. Das einzig unklar hier ist, was $\mathfrak a, \mathfrak b$ heißen soll, aber darauf bist du nicht eingegangen. Der Rest sind einfach Teilmengenbeziehungen, ich wüsste nicht, was man da für eine "Lesart" haben sollte. Mit $\mathfrak a, \mathfrak b$ ist hier gemeint, dass $\mathfrak a\cap \mathfrak b$ sowohl in $\mathfrak a$ also auch in $\mathfrak b$ enthalten ist, und dass sowohl $\mathfrak a$ als auch $\mathfrak b$ in $\mathfrak a\cup\mathfrak b$ enthalten sind. Und zu Summen hast du immer noch nichts gesagt. Obwohl du mich damit sogar zitiert hast.


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  Beitrag No.76, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-02

Seien $\displaystyle c=\sum_{i \geq 0} a_ib_i \in \mathfrak{a\cdot b}$. d ein anderes $\displaystyle d=\sum_{j \geq 0} a_jb_j \in \mathfrak{a\cdot b}$. Zu zeigen , wenn $c\in \mathfrak{a\cdot b}$, und $d\in \mathfrak{a\cdot b}$, dann $c+d \in\mathfrak{a\cdot b}$ Rechnung $\displaystyle c+d=\sum_{i \geq 0}a_ib_i+\sum_{j \geq 0}a_jb_j$. Das ist nur eine Hintereinanderreihung von Summen. ist also $=\sum_{k \geq 0}a_kb_k\in \mathfrak{a\cdot b}$.


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  Beitrag No.77, eingetragen 2018-10-02

Das ist richtig, aber deine Formeln geben diesen Schluss nicht her. $\sum_{i\geq 0} a_i b_i$ und $\sum_{j\geq 0} a_j b_j$ sind erstmal dasselbe, die Indexvariable kann man ja nennen, wie man will. Irgendwie muss man hier selbst darauf kommen, dass offensichtlich endliche Summen gemeint sind, vielleicht bestehen beide aus unterschiedlichen Summanden, vielleicht auch nicht ... wird schon irgendwie passen. Ich kann dir nur zum x-ten mal raten, endlich deine Hausaufgaben zu machen und Mathematik _von Anfang an_ zu lernen. Solange du nur triviale Beweise aufschreibst, wo eh jeder weiß, was gemeint ist, kannst du dir alle möglichen Schlampereien leisten, aber sobald du den Nichtschwimmerbereich verlässt, gehst du gnadenlos unter.


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  Beitrag No.78, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-02

\quoteon(2018-10-02 17:07 - ligning in Beitrag No. 77) Das ist richtig, aber deine Formeln geben diesen Schluss nicht her. $\sum_{i\geq 0} a_i b_i$ und $\sum_{j\geq 0} a_j b_j$ sind erstmal dasselbe, die Indexvariable kann man ja nennen, wie man will. Irgendwie muss man hier selbst darauf kommen, dass offensichtlich endliche Summen gemeint sind, vielleicht bestehen beide aus unterschiedlichen Summanden, vielleicht auch nicht ... wird schon irgendwie passen. \quoteoff Es war deine Anregung oder von TomTom, einfache Sätze zu beweisen. So bitte sehr. Ich habe unendliche Summen nicht ausgeschlossen. Kannst ja mal ne Schwimmer aufgabe stellen. ich scheue das hohe wasser nicht. ;-)


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  Beitrag No.79, eingetragen 2018-10-02

\quoteon(2018-10-02 18:13 - juergen007 in Beitrag No. 78) Es war deine Anregung oder von TomTom, einfache Sätze zu beweisen. \quoteoff von TomTom314. Soweit ich das verfolgt habe, gerade _weil_ du im hohen Wasser kein Land gesehen hast. Danach hast du es dir ja zur Aufgabe gemacht, hier zu beweisen, dass du das kleine 1×1 drauf hast. \quoteon Ich habe unendliche Summen nicht ausgeschlossen. \quoteoff Hättest du vielleicht tun sollen. Das stellt jetzt jedenfalls wieder einiges in Frage. \quoteon Kannst ja mal ne Schwimmer aufgabe stellen. \quoteoff Warum? Mach doch erstmal den Nichtschwimmerteil richtig. Aufgaben findest du ansonsten in Lehrbüchern, Bosch oder so. \quoteon ich scheue das hohe wasser nicht. ;-) \quoteoff Absaufen hat ja wegen der begrenzten Aussagekraft der Metapher auch keine direkten Konsequenzen. Du produzierst halt dann unsinnige Mathematik.


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