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 Zählschwierigkeiten zum Goldbach-Experiment |
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Bekell
Aktiv 
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
 |  Themenstart: 2018-08-26
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Hallo, liebe Helfer,
ich brauche mal eine Zählhilfe zu zwei diversen Vorgängen.
1. Es ist eine Perlenkette geschlossen, 7 weisse und 3 roten Perlen sind aufgefädelt. Wir legen die Perlenkette auf den Tisch, so, daß sie langgezogen ist, und nicht wie ein Kreis daliegt, und nummerieren jede Perle. Dann zählen wir die Ereignisse, bei jeder Bewegung, also, wie oft rot über rot, weiß über weiß, und rot über weiß und umgekehrt, kommt.
Ich hab das mal in Excel gemacht. Das alles scheint relativ einfach zu sein, aber wird mir unerklärlich im 2. Teil.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_PerlenketteTab-1.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_PerlenketteTab-2.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_PerlenketteTab-3.png
Es gibt also 6 Ereignisse, wo rot auf rot trifft, 46 Ereignisse, weiss auf weiss und 48 gemischte, zusammen 100.
Man kann das auch so darstellen:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_PerlenketteTab-4.png
Merkwürdig ist, ich komme nur auf 2 x 21 = 42 gemischte Ereignisse (rot auf weiss) in den zur grünen Achse symmetrischen Hälften. Warum zählt man aber 48 gemischte Ereignisse in real? Warum sind die 10 grünen Felder der Mittelachse dort erfasst, denen ja keine Ereignisse entsprechen, denn es gibt das Ereignis, daß z.B. 3 auf 3 trifft, nicht? Es dürften also nur 90, nicht 100 Ereignisse gezählt werden.
Es wird noch spannender....
2. Wir schneiden jetzt dieselbe (3 rot, 7 weiss) geschlossene Perlenkette an einer Stelle durch, und hängen das eine Ende an einen Nagel an die Wand. Dann lassen wir von oben die Perlenkette langsam herunter, so daß jede Perle an der anderen einmal vorbei muß. Dabei zählen wir die Ereignisse.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_ZahlenketteTab-1.png
Es ist klar, daß hier nur die Hälfte der Ereignisse von oben eintreten kann. Unverständlich ist mir, warum bei der Perlenkette (Vorgang 1) erst der 21. Schritt dem ersten entspricht, bei der Zahlenkette, (Vorgang 2) aber der 20. dem 1.? Warum gibt es dort einen Zustand weniger? Das ist mir vollkommen schleierhaft. Die Anzahl der Ereignisse wird überhaupt nicht von der Lage der roten, bzw. weissen Perlen beeinflusst, sondern nur von deren Anzahl.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_ZahlenketteTab-2.png
Es ist klar, es können nur 45 Ereignisse sein, nämlich 3 + 21 + 21. Die Ereignistabelle sieht so aus:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_ZahlenketteTab-3.png
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Herijuana
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Dabei seit: 26.05.2014
Mitteilungen: 49
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-26
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Hey,
könntest du vielleicht die Ereignisse die du zählen willst etwas genauer erklären ?
Ich verstehe du hast eine geschlossene Kette auf der rote und weiße Perlen aufgefädelt sind, die alle durchnummeriert sind. Ich verstehe aber nicht welche Ereignisse oder Anordnungen du meinst die du zählen willst. Und später schneidest du die Kette an einer stelle durch und hängst sie an einem Ende auf. Hier verstehe ich auch nicht ganz inwiefern die Perlen aneinander vorbeilaufen wenn man sie von der Kette rutschen lässt.
mfg Herijuana
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Bekell
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Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-26
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\quoteon(2018-08-26 12:03 - Herijuana in Beitrag No. 1)
Ich verstehe aber nicht welche Ereignisse oder Anordnungen du meinst die du zählen willst.
\quoteoff
Ein Ereignis ist, wenn man die Kette hinlegt, welche Farbe gegenüber welcher zum Stehen kommt. Es gibt nur 3 Arten. Rot gegenüber rot, weiss gegenüber weiss, und gemischt. Pro Schritt gibt es bei der Kette 5 Ereignisse. Ich hab das grafisch aufgeführt.
\quoteon
Hier verstehe ich auch nicht ganz inwiefern die Perlen aneinander vorbeilaufen wenn man sie von der Kette rutschen lässt.
\quoteoff
Ich lasse sie nicht von der Kette rutschen, sondern sie bleiben verbunden. Ein Schritt ist hier immer eine Perle weiter runter lassen. Wenn nun die erste Perle an der Wand befestigt ist, gibt das eine nach unten hängende Schlaufe, in der sich jeweils die Perlen gegenüberstehen. Siehe die Grafik. Auch hier gibt es nur 3 mögliche Ereignisse, wie bei der geschlossenen Kette.
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Herijuana
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Dabei seit: 26.05.2014
Mitteilungen: 49
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-26
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Ich verstehe jetzt die Problemstellung denke ich, ich hätte auf die Bilder achten sollen.
Was ich noch nicht ganz verstehe ist die alternative Darstellung der Zustände in dem quadratischen Schema.
Und bei der Frage warum bei Verfahren 1 nach 21 Schritten wieder der Ausgangszustand und bei Verfahren 2 schon nach 19 Schritten würde ich sagen das liegt daran, dass du so wie ich das interpretiere zwei Arten von Zuständen hast. Bei der ersten Art hängt die Kette sozusagen an der Schnur am Nagel und bei der zweiten Art ist eine Perle direkt über dem Nagel auf dem die Kette hängt. Eine Perle die auf der rechten Seite ganz oben ist wechselt also im nächsten Schritt in eine Position direkt über dem Nagel und im übernächsten auf die linke Seite. Diesen Zwischenschritt hast du aber von Position 1 auf 2 und von Position 18 auf 19 übersprungen.
mfg Herijuana
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-26
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Frage:
Was hat das mit Goldbach zu tun :-o ?
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Bekell
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Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-26
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\quoteon(2018-08-26 14:50 - Herijuana in Beitrag No. 3)
Was ich noch nicht ganz verstehe ist die alternative Darstellung der Zustände in dem quadratischen Schema. \quoteoff
Das ist der geometrische Hintergrund zur Ereignisberechnung .... Da findest du die per Hand ausgezählten Zahlen wieder ....
\quoteon
Und bei der Frage warum bei Verfahren 1 nach 21 Schritten wieder der Ausgangszustand und bei Verfahren 2 schon nach 19 Schritten würde ich sagen das liegt daran, dass du so wie ich das interpretiere zwei Arten von Zuständen hast.
\quoteoff
??
\quoteon Bei der ersten Art hängt die Kette sozusagen an der Schnur am Nagel und bei der zweiten Art ist eine Perle direkt über dem Nagel auf dem die Kette hängt.
\quoteoff
Also bei 2. habe ich die 10 an die Wand genagelt und lasse jetzt von oben rechts daneben die Kette herab, so daß sich eine Schlaufe bildet. Jedes Wanderung um eins erzeugt einen neuen zustand, mit so und so vielen passiven (rot-rot, weiss-weiss, und gemischt.) Oben sind die Nummern der Zustände, es gibt 19. Und wir können sagen, daß es keinen Zustand gibt, wo nicht weiss-weiss existiert.
Das ist grundsätzlich dasselbe, wie in der geschlossenen Kette (1), wenn sich 2 Perlen gegenüberliegen. Der einzige Unterschied, den ich sehe, ist der daß der Perlenkranz (1) bei jedem Schritt 5 Ereignisse hat, während die Zahlenkette (2) wachsend und abnehmend Zustände hat, insgesamt aber nur ca. die Hälfte.
Ich versteh nicht Deine 2 Arten von Zuständen.
\quoteon
Eine Perle die auf der rechten Seite ganz oben ist wechselt also im nächsten Schritt in eine Position direkt über dem Nagel und im übernächsten auf die linke Seite.
\quoteoff
\quoteon
Diesen Zwischenschritt hast du aber von Position 1 auf 2 und von Position 18 auf 19 übersprungen.\quoteoff
Wo, bei der 2. (Kette) oder beim 1. (Perlenband) Das versteh ich nicht. Wenn die Kette hängt, ist der erste Schritt danach, daß die 10 gegenüber der 9 zu stehen kommt. Was soll dennoch dazwischen sein?
\quoteoff
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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1412
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-26
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@Bekell
Mich interessiert auch, was es mit Goldbach auf sich hat :D
Aber zu dem hier dargestellten Problem.
Bei deiner Kette haben ja die Kugeln / Glieder 1, 3 und 7 immer dieselbe Farbe (rot) und der Rest weiß... ansich die Färbung da egal bzw. du könntest auch alles bunt machen. Es geht eher darum, dass deine beiden Darstellungen nicht äquivalent sind.
Betrachte einfach mal, was du immer mit der 1 matchst.
In der oberen Darstellung mit den 20 Fällen (erste Zahl ist links oder oben, zweit rechts oder unten):
Nr. 1 matcht die 1 oben mit der 8 unten: (1,8)
Nr. 2 matcht die 1 oben mit der 7 unten: (1,7)
usw: (1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (6,1)* (0,1) (9,1) (8,1) (7,1) (6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,6)* (1,0) (1,9)
Du hast also 20 Fälle in denen (6,1) und (1,6) doppelt vorkommen (da du auch die Matchs von gegenüberliegenden Paaren links und rechts mitzählst = *)
In der unteren Tabelle matchst du die 1 aber nur (erste Zahl Spalte, zweite Zahl Zeile):
(1,0) (1,1) (1,2) ... (1,9) (0,1) (2,1) (3,1) ... (9,1)
Also wenn man (1,1) mitzählt dann 19 Paare, ansonsten 18. Ich vermute, dass du die Diagonale nicht auswerten möchtest?
Aber du siehst, dass beide Darstellungen nicht äqivalent sind, denn in deiner Zeilen-Spalten-Darstellung danach ist (6,1) und (1,6) nur einmal vertreten.
Keine Ahnung, ob du das jetzt doppelt dabei haben möchtest oder ob du auch (1,1) matchen willst (das sich in einer Kette nicht gegenüber liegt btw. könnte man es so werten: wenn 1 rechts einzeln in der Kette liegt, dann liegt der 1 die 1 gegenüber bzw. wenn 1 links einzeln in der Kette liegt, dann liegt die 1 der 1 gegenüber... dann hättest du auch in der oberen Darstellung zweimal (1,1) drinne - in der unteren Kreuztabelle müsstest du dann die Diagonale doppelt werten).
Deine beiden Darstellungen wären äquivalent, wenn du oben Matchs von der linken und der rechten Kugel nicht wertest und in der unteren Tabelle die Diagonale nicht.
Edit
Aber noch etwas Mathematik... Wenn du n Perlen hast und davon k rot sind, und entsprechend (n-k) weiß, dann gibt es an Paaren:
\(P = n \cdot (n-1)\)
[quasi jeder Zahl/Perle kann jede andere außer sich selbst einmal gegenüberstehen]
Die Anzahl der rein roten bzw. weißen Paare sind dann:
\(R = k \cdot (k-1)\\
W = (n-k) \cdot (n-k-1)\)
[jeder roten mal eine andere rote gegenüber, analog bei den weißen]
Und die gemischten Paare sind dann:
\(G = P - R - W = n(n-1) - k(k-1) - (n-k)(n-k-1)\\
= 2k(n-k)\)
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Herijuana
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Dabei seit: 26.05.2014
Mitteilungen: 49
| Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-26
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Oh sry, ich hatte die Kette gedanklich falsch aufgehängt ^^
Aber es läuft auf das selbe hinaus, mit den zwei verschiedenen Zuständen meine ich, dass in einem Fall zb. 2 zwei Perlen am tiefsten Punkt hängen 9 und 10 und im anderen Fall zb. 3 nur eine die 9. So wie du bei Verfahren 1 zwei verschiedene Zustände hast die sich abwechseln nur in Verfahren 2 fallen in den Grenzfällen Zustände zusammen.
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Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-26
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Hallo MartinN, alter Mitstreiter, Du kennst ja Gott sei Dank meine Diktion schon... vielen Dank, daß Du Dich meldest....
\quoteon(2018-08-26 19:05 - MartinN in Beitrag No. 6)
Mich interessiert auch, was es mit Goldbach auf sich hat :D
\quoteoff
... Geduld, kommt noch, ich muß dieses Thema erst sauber drin haben ....
\quoteon
Bei deiner Kette haben ja die Kugeln / Glieder 1, 3 und 7 immer dieselbe Farbe (rot) und der Rest weiß... ansich die Färbung da egal bzw. du könntest auch alles bunt machen.
\quoteoff
Ja, die Farben und die Stellung der roten innerhalb der weißen sind egal....
\quoteon
Es geht eher darum, dass deine beiden Darstellungen nicht äquivalent sind.
\quoteoff
Ja, genau das ist der Punkt!
\quoteon
Betrachte einfach mal, was du immer mit der 1 matchst.
In der oberen Darstellung mit den 20 Fällen (erste Zahl ist links oder oben, zweit rechts oder unten):
Nr. 1 matcht die 1 oben mit der 8 unten: (1,8)
Nr. 2 matcht die 1 oben mit der 7 unten: (1,7)
usw: (1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (6,1)* (0,1) (9,1) (8,1) (7,1) (6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,6)* (1,0) (1,9)
\quoteoff
.....verstanden
\quoteon
Du hast also 20 Fälle in denen (6,1) und (1,6) doppelt vorkommen (da du auch die Matchs von gegenüberliegenden Paaren links und rechts mitzählst = *)
\quoteoff
Ich sehe es jetzt auch. 10 Ziffern doppelt, sind genau zehn Begegnungen (Passover), die von den 100 abzuziehen sind, damit bleiben 2 mal 45, wie vermutet. Es sind also nur 18 Schritte, oder? Wahrscheinlich sind die 10 Begegnungen, um die es hier geht, die Diagonale in der Kreuztabelle, oder?
Ich will u. a. zu der Aussage: Wenn in einer Perlenkette unter den und den Bedingungen so und so viele Passover vorkommen, dann in einer Zahlenkette genau die Hälfte davon. Dazu brauche ich Klarheit und eine äquivalente Darstellung der beiden unterschiedlichen Vorgänge.
\quoteon
In der unteren Tabelle matchst du die 1 aber nur (erste Zahl Spalte, zweite Zahl Zeile):
(1,0) (1,1) (1,2) ... (1,9) (0,1) (2,1) (3,1) ... (9,1)
Also wenn man (1,1) mitzählt dann 19 Paare, ansonsten 18.
\quoteoff
versteh ich nicht ganz ...
\quoteon
Ich vermute, dass du die Diagonale nicht auswerten möchtest?
\quoteoff
jetzt nicht ... wenn der Bezug zu Goldbach kommt, dann mehr dazu
\quoteon
Aber du siehst, dass beide Darstellungen nicht äqivalent sind, denn in deiner Zeilen-Spalten-Darstellung danach ist (6,1) und (1,6) nur einmal vertreten.
\quoteoff
kannst du nicht mal die beiden unterschiedlichen Werkzeuge, also die Zahlenkette und den Perlenring in seinen Zuständen äquivalent skizzieren? Vergiss nicht, daß in der geschlossenen Perlenkette aber die beiden Perlen 6 und 1 aneinander vorbei müssen, wenn sie oben und unten wechseln! Es ist wichtig, alle möglichen Zustände inkludiert zu haben. Man kann das Ding nicht aufschneiden und die beiden Perlen irgendwie anders positionieren. Das wäre regelwidrig. Oder ist die Perlenkette grundsätzlich etwas anderes als die offenen Zahlenkette?
\quoteon
Keine Ahnung, ob du das jetzt doppelt dabei haben möchtest oder ob du auch (1,1) matchen willst (das sich in einer Kette nicht gegenüber liegt btw. könnte man es so werten: wenn 1 rechts einzeln in der Kette liegt, dann liegt der 1 die 1 gegenüber bzw. wenn 1 links einzeln in der Kette liegt, dann liegt die 1 der 1 gegenüber... dann hättest du auch in der oberen Darstellung zweimal (1,1) drinne - in der unteren Kreuztabelle müsstest du dann die Diagonale doppelt werten).
\quoteoff
Das versteh ich nicht ganz. Worauf bezieht sich das? Auf das 19-Schema von Zahlenkette (2) vermute ich. Dort kann man die Zahlen einfach weiterlaufen lassen, indem man einen zweiten Ziffernsatz hinzufügt. Dann hätte man die Perlenkette. Mir ging es aber darum, nur die Hälfte darstellen.
\quoteon
wenn du oben Matchs von der linken und der rechten Kugel nicht wertest
\quoteoff
... aber sie finden statt....
\quoteon
Deine beiden Darstellungen wären äquivalent, wenn du oben Matchs von der linken und der rechten Kugel nicht wertest und in der unteren Tabelle die Diagonale nicht.
\quoteoff
Ja, seh ich auch so, zumindest nach den Werten .... nur - in der Perlenkette (Wirklichkeit!) finden diese Matchs statt!
Also in der Kreuztabelle, muß der Perlenring genau doppelt soviel Matchungen (Passover oder Begegnungen) haben, wie bei der Zahlenkette.
\quoteon
Edit
Aber noch etwas Mathematik... Wenn du n Perlen hast und davon k rot sind, und entsprechend (n-k) weiß, dann gibt es an Paaren:
\quoteoff
den mathematischen Teil versteh ich, ist ja auch nicht schwer.
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lula
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Mitteilungen: 11545
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-26
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Hallo
wegen deiner Überschrift hatte ich erst gar nicht gelesen.
Wenn aber .".. Geduld, kommt noch, ich muß dieses Thema erst sauber drin haben ...."
dann nenn den thread anders!
Gruß lula
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