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 Zuordnung Kreis auf Ellipse |
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NatNat
Junior 
Dabei seit: 02.07.2017
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2018-09-04
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Hallo :)
Ich sitze gerade an meinen Uni Aufgabe Blättern und da ist eine Frage, bei der ich nicht weiterweiß. Dabei geht es um komplexe Zahlen (stimmt die Zuordnung Analysis? Bin mir da noch nicht ganz so sicher...)
Man soll zeigen, dass die Zuordnung
\[w=z+\frac{c}{z}\]
mit \(z=x+iy\), \(w=u+iv\) und \(c\) eine reelle Zahl, den Kreis \(|z|=1\) in der \(z\) Ebene auf eine Ellipse in der \(w\) Ebene abbildet und die Gleichung ebendieser Ellipse finden.
Hier wird immer gesagt, man soll eigene Ansätze vorzeigen. Das täte ich ja auch, wenn ich einen hätte. Aber ich habe bis jetzt nicht wirklich einen konstruktiven Ansatz gefunden... (Alles was ich habe, ist \(1=\sqrt{x^2+y^2}\) aber ich glaube nicht, dass das hilft)
Freue mich wie immer um jede Hilfe!!
Grüße :)
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8386
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-04
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Hallo NatNat,
habt ihr in der Vorlesung sog. Möbius-Abbildungen behandelt?
(Habe deinen Beitrag mal verschoben und umbenannt.)
Gruß
StrgAltEntf
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NatNat
Junior
Dabei seit: 02.07.2017
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-04
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Hallo :)
Nein haben wir noch nicht... Der Rest des Übungszettels ist auch mit nicht allzu aufwendigen Rechnungen lösbar, also glaube ich, dass es einen einfacheren Lösungsweg gibt!
Ooh ich wusste nicht, dass es auch Untergruppen gibt!!
Liebe Grüße
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3555
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-04
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Hallo,
einfach mal einsetzen: $w = (x + iy) + \frac{c}{x+iy} = \ldots = ? x + i ? y$.
\quoteon(2018-09-04 18:22 - NatNat im Themenstart)
(Alles was ich habe, ist \(1=\sqrt{x^2+y^2}\) aber ich glaube nicht, dass das hilft)
\quoteoff
Das hilft.
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Ex_Senior
 | Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-04
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\quoteon(2018-09-04 18:22 - NatNat im Themenstart)
Man soll zeigen, dass die Zuordnung
\[w=z+\frac{c}{z}\]
mit \(z=x+iy\), \(w=u+iv\) und \(c\) eine reelle Zahl, den Kreis \(|z|=1\) in der \(z\) Ebene auf eine Ellipse in der \(w\) Ebene abbildet und die Gleichung ebendieser Ellipse finden.
\quoteoff
\
Für eine Ellipse um den Ursprung ist bekanntlich
x(t) = A*cos(t) \and y(t) = B*sin(t).
Mit wenig Rechnung zeigt man, dass eine Ellipse um den Ursprung in der komplexen Ebene in der Form
z(t) = x(t) + i y(t) = a*exp(it) + b*exp(-it)
dargestellt werden kann.
Für einen Kreis um den Ursprung vom Radius r ist bekanntlich z(t) = r*exp(it); setzt man diese Parameterform \(mit r=1\) in z + c/z ein, entliest man direkt o.g. Parameterdarstellung der Ellipse.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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NatNat
Junior 
Dabei seit: 02.07.2017
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05
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Hallo noch mal :)
ich habe jetzt mal eure Vorschläge probiert, zuerst zu dem Vorschlag von ligning:
\[w=z+\frac{c}{z}=(x+iy)+\frac{c}{x+iy}=x+iy+\frac{c(x-iy)}{x^2+y^2}\]
Wie bereits gesagt ist \(\sqrt{x^2+y^2}=1\) also auch \(x^2+y^2=1\). Also kann ich den Nenner weglassen.
\[w=x+cx+iy-iyc=x(1+c)+iy(1-c)\]
Jetzt stecke ich wieder :-?
Zur Lösung von cis: Ich verstehe alles, bis auf den Schritt zum Ausdruck
\[z(t)=a*e^{it}+b*e^{-it}\]
Klar könnte ich die Lösung einfach abschreiben, aber ich möchte ja was lernen. Könnt ihr mir vielleicht nochmal helfen?
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-09-05
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\quoteon(2018-09-05 12:07 - NatNat in Beitrag No. 5)
Zur Lösung von cis: Ich verstehe alles, bis auf den Schritt zum Ausdruck
\[z(t)=a\cdot e^{it}+b\cdot e^{-it}\]
Klar könnte ich die Lösung einfach abschreiben, aber ich möchte ja was lernen. Könnt ihr mir vielleicht nochmal helfen?
\quoteoff
i. Bitte nicht den Stern als Multiplikationzeichen missbrauchen - oben korrigiert.
ii. Ich hatte schon gesagt
\quoteon(2018-09-04 22:51 - cis in Beitrag No. 4)
\ Mit wenig Rechnung
\quoteoff
Ganz ohne eigenes Zutun geht es scheints nicht...
\quoteon(2018-09-04 22:51 - cis in Beitrag No. 4)
\
Für eine Ellipse um den Ursprung ist bekanntlich
x(t) = A*cos(t) \and y(t) = B*sin(t).
Mit wenig Rechnung zeigt man, dass eine Ellipse um den Ursprung in der komplexen Ebene in der Form
z(t) = x(t) + i y(t) = a*exp(it) + b*exp(-it)
dargestellt werden kann.
\quoteoff
\
Wenn x(t) = A*cos(t) und y(t) = B*sin(t) ist, dann ist offensichtlich
z(t) = x(t) + i y(t) = A*cos(t) + i B*sin(t) = ...
Da kann man jetzt weiter dran rumdröseln, bis man die Form z(t) = a*exp(it) + b*exp(-it) dastehen hat...
PS: Es ergibt sich dabei ein eleganter Zusammenhang für die hier mit a und b bezeichneten Größen.
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NatNat
Junior
Dabei seit: 02.07.2017
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05
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Ok ich glaub ich habs :) nochmals danke an alle, die geholfen haben!!
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2018-09-06
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\quoteon(2018-09-05 17:42 - NatNat in Beitrag No. 7)
Ok ich glaub ich habs :) nochmals danke an alle, die geholfen haben!!
\quoteoff
Na dann präsentiere doch (wie hier allgemein üblich) Dein Ergebnis, so das auch andere etwas davon haben.
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NatNat
Junior
Dabei seit: 02.07.2017
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-07
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Oh sorry, wusste ich nicht, dass man das so macht, dafür kenn ich mich hier noch etwas zu wenig aus :/
Zur Lösung von Ligning:
Wie bereits oben erläutert, haben wir \(w=x(1+c)+iy(1-c)\). Lt. Angabe haben wir ja \(w=u+iv\), also \(u=x(1+c)\) und \(v=y(1-c)\). Wir wissen ja, dass \(x^2+y^2=1\), also setzten wir die anderen Variablen ein:
\[1=\frac{u^2}{(1+c)^2}+\frac{v^2}{(1-c)^2}\] (mit \(c!=1,-1\))
und das ist ja bekanntlich eine Ellipsengleichung.
Hier die Lösung von cis:
Für eine Ellipse um den Ursprung wissen wir, \(x(t)=A\cdot cos(t)\) und \(y(t)=B\cdot sin(t)\). In der komplexen Ebene ist das dementsprechend:
\[z(t)=x(t)+iy(t)=A\cdot cos(t)+iB\cdot sin(t)\]
\[z(t)=A(cos(t)+isin(t))+(b-a)isin(t)\]
Wir wissen \(cos(t)+isin(t)=e^{it}\) und \(isin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2}\), also ersetzten wir das:
\[z(t)=ae^{it}+\frac{b-a}{2}(e^{it}-e^{-it})\]
\[z(t)=(a+\frac{b-a}{2})e^{it}-\frac{b-a}{2}e^{-it}\]
\[z(t)=\frac{a+b}{2}e^{it}+\frac{a-b}{2}e^{-it}\]
Zurück zum Anfang: zuerst schreiben wir \(z=r\cdot e^{i\phi}\) und wir wissen \(|z|=1\), also \(r=1\), also \(z=e^{i\phi}\). Wir setzten das in unsere ursprüngliche Gleichung ein und erhalten:
\[w=z+\frac{c}{z}=e^{i\phi}+\frac{c}{e^{i\phi}}=e^{i\phi}+c\cdot e^{-i\phi}\]
mit \(\frac{a+b}{2}=1\) und \(\frac{a-b}{2}=c\) und das ist lösbar. Also haben wir eine Ellipse in der \(w\) Ebene.
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2018-09-07
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Zwei Anmerkungen:
· Achtung: irgendwo kippt die Groß- und Kleinschreibung ins Falsche.
· Funktionen werden aufrecht geschrieben (vgl. wikipedia: "Formelsatz" etc.); dafür stellt LaTeX meist fertige Routinen bereit: $\sin, \tan, \log,\arccos,\dots$
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