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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktionen
Autor
Universität/Hochschule Holomorphe Funktionen
Aegon
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
  Themenstart: 2018-10-16

Hallo, mich verwirrt folgende Definition in meinem Skript: A function $f: V \rightarrow \C$ on an open subset $V \subset X$ of a Riemann surface $X$ is called holomorphic if for all charts $ \varphi: U \rightarrow U $ $ f \circ \varphi ^{-1}: \varphi(V \cap U) \rightarrow \C $ is holomorphic. Ich kenne holomorphe Funktionen als komplex differenzierbre Funktionen. Sind diese Definitionen dann äquivalent?

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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-16

Die Definitionen sind nicht äquivalent, aber die von dir gegebene erweitert in geeigneter Art die ursprüngliche. Ich benutze ab jetzt "holomorph" für die von dir gegebene Definition mittels Karten und "komplex differenzierbar" für die übliche Definition aus der elementaren Funktionentheorie. Erst einmal solltest du beachten, dass die Definition von holomorphen Funktionen auf die von komplex differenzierbaren Funktionen mittels Karten zurückgeführt wird. Ohne zu wissen, was eine komplex differenzierbare Funktion ist, kann man Holomorphie also gar nicht definieren. Umgekehrt ist komplexe Differenzierbarkeit nur für Funktionen auf offenen Teilmengen von $\mathbb{C}$ definiert, und Riemannsche Flächen sind im Allgemeinen keine offenen Teilmengen (oder überhaupt Teilmengen) von $\mathbb{C}$. Wenn beide Definitionen überhaut anwenbar sind, also für Funktionen auf offenen Teilmengen von $\mathbb{C}$, so stimmen sie tatsählich überein: Jede offene Teilmenge $U$ von $\mathbb{C}$ hat eine kanonische komplexe Struktur, gegeben durch die Identität $U\longrightarrow U$. Da es für Holomorphie genügt, eine Karte statt aller karten zu testen (warum?), ist eine Funktion von $U$ nach $\mathbb{C}$ genau dann holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

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Aegon
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Mitteilungen: 204
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16

ok alles klar danke!

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Aegon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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