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 Vollständige Induktion Ungleichung |
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idontknowhow10
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 130
 |  Themenstart: 2018-10-21
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Hallo,
ich komme bei dieser Induktion nicht weiter.
Zeigen Sie, dass die Ungleichung n^3/3 < 3n-3 für n = 2 erfüllt ist und für alle anderen n aus N nicht gilt.
Mein Ansatz war erstmal für n = 3 zu testen. Dies zeigt, dass die Ungleichung falsch ist.
Da wir ja zeigen wollen, dass der Term n^3/3 nur für n = 2 kleiner ist.
Nun war mein Ansatz, zu zeigen, dass die für n>= 3 n^3/3 größer gleich 3n-n ist.
Also hab ich die Ungleichung umgedreht mit >= und möchte dies nun Beweisen.
Induktionsannahme: n = 3
27/3 >= 6
Induktionsvorraussetzung : n^3/3 >= 3n-3
Ich verstehe allerdings den Induktionsschritt von einem Freund nicht.
Wir haben n+1 in n^3/3 und 3n-3 eingesetzt um zu zeigen, dass die Ungleichung
n^3/3 >= 3n-3 auch für n+1 gilt.
= (n+1)^3/3 >= 3n
= (n^3+3n^2+3n+1)/3 >= 3n
= n^3/3 + 3n^2+3n+1 >= 3n
Induktionsvorraussetzung benutzen:
(3n-3+3n^2+3n+3)/3 >= 3n
=3n^2-2+6n >= 3n
=n^2+2n-3/2 >= 3n
= n*n +2n - 2/3 >= 3n+6-2/3 >= 3n
Wieso zieht man n^3/3 aus dem Bruch und addiert dann 3n-3 in der IV ein?
Das versteh ich gar nicht.
Generell versteh ich den Beweis nicht so ganz:
Meine Idee war nämlich,
n^3/3 + (n+1)^3/3 >= 3n-3 + (n+1)^3/3 zu rechnen, aufzulösen und dann zu zeigen, dass n^3 immer größer als n^2 ist.
Wieso wäre meine Idee falsch?
Bei der Induktion setzt man doch n+1 in den Term direkt nach dem Summenzeichen ein und addiert das was daraus kommt auf die linke Seite, löst auf und schaut ob das gleiche rauskommt. Wieso kann man das nicht hier machen?
Ich meine
"Summenzeichen" (2i-1) = n^2
Hier würde man dann später n^2 + 2*(n+1)-1 rechnen, also man addiert den linken Teil zum rechten mit n+1
Wieso würde das bei meinem Beispiel oben nicht gehen?
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qwertzusername
Senior 
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-21
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Hallo,
den Text ist aus mehrehren Gründen schwer zu lesen.
Bitte nutze LaTeX oder fed um die mathematischen Symbole richtig darzustellen:
$n^3/3 \geq 3n-3$.
Ferner rate ich dazu deine ganze Ungleichung mit 3 zu multiplizieren um den Bruch loszuwerden:
$n^3 \geq 9n-9$.
Zum Ind.schritt deines Freundes:
-Ungleichungen können äquivalent ($\Leftrightarrow$) sein, ein $=$ davor macht keinen Sinn, es verwirrt nur, da es suggeriert, dass bestimmte terme gleich sind.
-Das multiplizieren mit 1/3 von der zweiten auf die dritte zeile ist falsch.
-Euer Vorgehen ist zumindest ungeschickt (ich tu mich schwer rauszulesen ob es sonst richtig oder noch mehr Fehler drin sind):
Generell geht man so vor:
Wenn man eine Ungleichung A > B zeigen will, beginnt man mit
A und macht Abschätzungen/Umformungen (also $=, \geq , >$) um am Ende bei B rauszukommen, also z.B. so was:
$A \geq A_1 = A_2 \geq B$
\quoteon
Wieso wäre meine Idee falsch?
\quoteoff
Wie kommst du darauf, dass sie überhaupt falsch ist?
Ich bin mir nicht sicher was genau deine Idee ist, vielleicht führt sie zum Ziel, vielleicht auch nicht. Und nur weil sie nicht zum Ziel führt ist die Idee auch nicht gleich falsch.
\quoteon
Bei der Induktion setzt man doch n+1 in den Term direkt nach dem Summenzeichen ein und addiert das was daraus kommt auf die linke Seite, löst auf und schaut ob das gleiche rauskommt. Wieso kann man das nicht hier machen?
\quoteon
Hier kann ich nicht folgen. Es gibt hier kein Summenzeichen, was hat das also mit dieser Aufgabe zu tun?
Oder meinst du Induktion gibt es nur mit Summenzeichen? Dann hast du Induktion noch nicht verstanden.
P.S. Das ganze hier braucht keine Induktion.
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idontknowhow10
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 130
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-21
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Vielen Dank schon mal.
Ja ich bin neu beim Thema Induktion und dachte, man kann dies nur mit einem Summenzeichen anwenden.
Habe den Beitrag mit dem Formeleditor nun bearbeitet.
Vielen dank für ihre Hilfe aber wir sollen die Aufgabe per Induktion lösen.
Könnten sie mir eventuell sagen wie das mit dem Abschätzen funktioniert?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
qwertzusername
Senior
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-21
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Abschätzen ist zu einem gewissen Grad eine Kunst, das lernt man nur durch Üben.
Es funktioniert im Wesentlichen so wie ich es bereits beschrieben hab:
Man verwendet eine Kette von (Un)gleichungen, z.B.
$\begin{align*} n^3 = n^2 \cdot n &\geq 9 n \quad \text{ wegen } n \geq 3 \newline
&\geq 9n-9 \end{align*}$
\quoteon
Vielen dank für ihre Hilfe aber wir sollen die Aufgabe per Induktion lösen.
\quoteoff
Ich lese das aus der Aufgabenstellung nicht raus.
Induktion ist ein nützliches Werkzeug, aber eines das von manchem viel zu oft auch für Dinge genutzt wird wo es bessere Werkzeuge gibt.
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