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 Induktiver Beweis einer Ungleichung |
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shmuelpapenheimer
Junior 
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 |  Themenstart: 2018-11-08
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$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n}}$
Gezeigt werden soll induktiv, dass die o.g. Ungleichung gilt.
Nun hänge ich aber daran fest, dass ich mit dem Resultat des Induktionsschrittes, nämlich:
$\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{2n+3}}$ nichts anfangen kann.
Lt. eines Mathexchange Postings kommt beim Induktionsschritt nach n+1 nämlich folgendes bei raus:
$$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{2n+3}}$$
Was zu $$4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)<(2n+2)^2=4n^2+8n+4$$ evaluiert.
Wobei mir nicht klar ist, woher der Faktor $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ auf einmal kommt und wie man auf den Ausdruck am Ende kommen soll.
Kann mir einer Hilfestellung leisten?
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supermonkey
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08
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Ich kann dir helfen, vor allem den richtigen Ansatz zu finden.
Also nach Induktionsannahme haben wir doch:
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n}}$
Was ist der Induktionsschritt?
Wir müssen zeigen, dass
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}<\frac1{\sqrt{2(n+1)}}$, richtig?
Wie verwendet man nun die Induktionsannahme und was ist dann noch zu zeigen?
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Physics
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-08
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Servus,
also dieser Faktor kommt soweit ich das sehe aus einer Abschätzung nach oben. Guck dir doch mal an:
\(\prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}\)
Im Induktionsschritt verwendest du ja jetzt die Annahme, dass die zu zeigende Ungleichung für ein \(n\in\IN\) gilt. Verwendest du diese Annahme und schätzt damit nach oben ab, kommt besagter Faktor recht schnell ans Licht.
VG
Physics
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-08
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Huhu,
es wird dann die Ungleichung verschärft:
\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2n-1}{2n+1}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
Wenn die rote Ungleichung gilt - dann gilt trivialerweise auch die ursprüngliche.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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shmuelpapenheimer
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 19:02 - supermonkey in Beitrag No. 1)
Ich kann dir helfen, vor allem den richtigen Ansatz zu finden.
Also nach Induktionsannahme haben wir doch:
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n}}$
Was ist der Induktionsschritt?
Wir müssen zeigen, dass
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}<\frac1{\sqrt{2(n+1)}}$, richtig?
Wie verwendet man nun die Induktionsannahme und was ist dann noch zu zeigen?
\quoteoff
Gerade das ist doch das Problem, dass ich nicht sehe wie ich da die Induktionsannahme verwenden kann / soll.
Ich glaub ich steh noch nicht so fest im Thema Ungleichungen...
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shmuelpapenheimer
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 19:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 3)
Huhu,
es wird dann die Ungleichung verschärft:
\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2n-1}{2n+1}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
Wenn die rote Ungleichung gilt - dann gilt trivialerweise auch die ursprüngliche.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
$\frac{2n-1}{2n+1}$, woher ziehen wir uns das?
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-08
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Huhu,
mist - da war die +1 gelandet. Hätte doch schwören können, ich hatte noch die +1 reingeschrieben und dann nur in die Mitte geguckt in der Vorschau und mich gewundert wo sie hin ist. Links muss sie weg im Nenner. Das ist einfach die originale linke Seite der Ungleichung.
\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
Du zeigst jetzt den IA und den IS für die rote Ungleichung.
Gruß,
Küstenkind
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supermonkey
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| Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 19:51 - shmuelpapenheimer in Beitrag No. 4)
\quoteon(2018-11-08 19:02 - supermonkey in Beitrag No. 1)
Ich kann dir helfen, vor allem den richtigen Ansatz zu finden.
Also nach Induktionsannahme haben wir doch:
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n}}$
Was ist der Induktionsschritt?
Wir müssen zeigen, dass
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}<\frac1{\sqrt{2(n+1)}}$, richtig?
Wie verwendet man nun die Induktionsannahme und was ist dann noch zu zeigen?
\quoteoff
Gerade das ist doch das Problem, dass ich nicht sehe wie ich da die Induktionsannahme verwenden kann / soll.
Ich glaub ich steh noch nicht so fest im Thema Ungleichungen...
\quoteoff
Achso, ok, gut. Dachte ich fange evtl zu elementar an.
Naja, wir schreiben mal hin:
$f(n+1)=\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}=f(n)\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$
Nach IA können wir doch f(n) ersetzen durch $\frac1{\sqrt{2(n)}}$ und erhalten eine Ungleichung.
Führe doch mal so weit aus!
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shmuelpapenheimer
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 20:15 - Kuestenkind in Beitrag No. 6)
Huhu,
mist - da war die +1 gelandet. Hätte doch schwören können, ich hatte noch die +1 reingeschrieben und dann nur in die Mitte geguckt in der Vorschau und mich gewundert wo sie hin ist. Links muss sie weg im Nenner. Das ist einfach die originale linke Seite der Ungleichung.
\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
Du zeigst jetzt den IA und den IS für die rote Ungleichung.
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Und das soll wie gehen?
Zeigen, dass $\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ und dann zeigen, dass $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$ ?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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shmuelpapenheimer
Junior
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 20:52 - supermonkey in Beitrag No. 7)
\quoteon(2018-11-08 19:51 - shmuelpapenheimer in Beitrag No. 4)
\quoteon(2018-11-08 19:02 - supermonkey in Beitrag No. 1)
Ich kann dir helfen, vor allem den richtigen Ansatz zu finden.
Also nach Induktionsannahme haben wir doch:
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n}}$
Was ist der Induktionsschritt?
Wir müssen zeigen, dass
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}<\frac1{\sqrt{2(n+1)}}$, richtig?
Wie verwendet man nun die Induktionsannahme und was ist dann noch zu zeigen?
\quoteoff
Gerade das ist doch das Problem, dass ich nicht sehe wie ich da die Induktionsannahme verwenden kann / soll.
Ich glaub ich steh noch nicht so fest im Thema Ungleichungen...
\quoteoff
Achso, ok, gut. Dachte ich fange evtl zu elementar an.
Naja, wir schreiben mal hin:
$f(n+1)=\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}=f(n)\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$
Nach IA können wir doch f(n) ersetzen durch $\frac1{\sqrt{2(n)}}$ und erhalten eine Ungleichung.
Führe doch mal so weit aus!
\quoteoff
Naja, durch $\frac1{\sqrt{2(n)}} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$ ergibt sich dann, dass
$f(n+1)=\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} < \frac1{\sqrt{2(n)}} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$ oder nicht?
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supermonkey
Senior
Dabei seit: 27.10.2018
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| Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 21:01 - shmuelpapenheimer in Beitrag No. 9)
\quoteon(2018-11-08 20:52 - supermonkey in Beitrag No. 7)
\quoteon(2018-11-08 19:51 - shmuelpapenheimer in Beitrag No. 4)
\quoteon(2018-11-08 19:02 - supermonkey in Beitrag No. 1)
Ich kann dir helfen, vor allem den richtigen Ansatz zu finden.
Also nach Induktionsannahme haben wir doch:
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n}}$
Was ist der Induktionsschritt?
Wir müssen zeigen, dass
$\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}<\frac1{\sqrt{2(n+1)}}$, richtig?
Wie verwendet man nun die Induktionsannahme und was ist dann noch zu zeigen?
\quoteoff
Gerade das ist doch das Problem, dass ich nicht sehe wie ich da die Induktionsannahme verwenden kann / soll.
Ich glaub ich steh noch nicht so fest im Thema Ungleichungen...
\quoteoff
Achso, ok, gut. Dachte ich fange evtl zu elementar an.
Naja, wir schreiben mal hin:
$f(n+1)=\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}=f(n)\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$
Nach IA können wir doch f(n) ersetzen durch $\frac1{\sqrt{2(n)}}$ und erhalten eine Ungleichung.
Führe doch mal so weit aus!
\quoteoff
Naja, durch $\frac1{\sqrt{2(n)}} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$ ergibt sich dann, dass
$f(n+1)=\frac12\cdot \frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} < \frac1{\sqrt{2(n)}} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$ oder nicht?
\quoteoff
Ja genau, bleibt also zu zeigen, dass
$\frac1{\sqrt{2(n)}} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \leq \frac1{\sqrt{2(n+1)}}$.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-08
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Huhu,
\quoteon(2018-11-08 20:56 - shmuelpapenheimer in Beitrag No. 8)
Und das soll wie gehen?
\quoteoff
ich habe nur deine Fragen aus dem Startbeitrag beantwortet:
\quoteon(2018-11-08 18:46 - shmuelpapenheimer im Themenstart)
Wobei mir nicht klar ist, woher der Faktor $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ auf einmal kommt und wie man auf den Ausdruck am Ende kommen soll.
\quoteoff
Da supermonkey aber mit dir Induktion auf die originale Aufgabe anwenden möchte geht es hier nun durcheinander. Ich werde mich also erstmal verabschieden nach diesem Beitrag.
\quoteon(2018-11-08 20:56 - shmuelpapenheimer in Beitrag No. 8)
und dann zeigen, dass $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$ ?
\quoteoff
Was willst du da zeigen? "Ein Drittel? Nee, ich will mindestens ein Viertel."
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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shmuelpapenheimer
Junior
Dabei seit: 11.07.2018
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon
Ja genau, bleibt also zu zeigen, dass
$\frac1{\sqrt{2(n)}} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \leq \frac1{\sqrt{2(n+1)}}$.
\quoteoff
Wie das? Ich finde keine geeigneten Umformungen
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
supermonkey
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| Beitrag No.13, eingetragen 2018-11-08
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Brutal quadrieren und umstellen hat bei mir geklappt. Hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
@Küstenkind Verstehe nicht ganz was dieser Verschärfungsschritt bringen soll..
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.14, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 22:24 - supermonkey in Beitrag No. 13)
@Küstenkind Verstehe nicht ganz was dieser Verschärfungsschritt bringen soll..
\quoteoff
Noch mal: Dieser Weg ist nicht von mir - und ich habe deinen auch nicht zu Ende gerechnet. Wenn du aber schreibst
\quoteon(2018-11-08 22:24 - supermonkey in Beitrag No. 13)
Hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
\quoteoff
würde ich mal interpretieren, dass die Rechnung nicht so schön ist?! Die Rechnung aus dem Startbeitrag ist sehr einfach. Nach IV ist nur noch:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{2n+3}}\)
zu zeigen. Schnell kürzen und umstellen:
\(\displaystyle \sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}<2n+2\)
Quadrieren führt zu:
\quoteon(2018-11-08 18:46 - shmuelpapenheimer im Themenstart)
Was zu $$4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)<(2n+2)^2=4n^2+8n+4$$ evaluiert.
\quoteoff
Und diesen Weg wollte shmuelpapenheimer ja erklärt haben.
Gruß,
Küstenkind
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MartinN
Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2016
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Wohnort: Bayern
| Beitrag No.15, eingetragen 2018-11-08
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Man könnte auch zeigen:
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdot \cdot \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{2n+2}}\)
:D
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
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supermonkey
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Dabei seit: 27.10.2018
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| Beitrag No.16, eingetragen 2018-11-09
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\quoteon(2018-11-08 22:39 - Kuestenkind in Beitrag No. 14)
\quoteon(2018-11-08 22:24 - supermonkey in Beitrag No. 13)
@Küstenkind Verstehe nicht ganz was dieser Verschärfungsschritt bringen soll..
\quoteoff
Noch mal: Dieser Weg ist nicht von mir - und ich habe deinen auch nicht zu Ende gerechnet. Wenn du aber schreibst
\quoteon(2018-11-08 22:24 - supermonkey in Beitrag No. 13)
Hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
\quoteoff
würde ich mal interpretieren, dass die Rechnung nicht so schön ist?! Die Rechnung aus dem Startbeitrag ist sehr einfach. Nach IV ist nur noch:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{2n+3}}\)
zu zeigen. Schnell kürzen und umstellen:
\(\displaystyle \sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}<2n+2\)
Quadrieren führt zu:
\quoteon(2018-11-08 18:46 - shmuelpapenheimer im Themenstart)
Was zu $$4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)<(2n+2)^2=4n^2+8n+4$$ evaluiert.
\quoteoff
Und diesen Weg wollte shmuelpapenheimer ja erklärt haben.
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Schon klar, dass das nicht von dir ist. Dachte nur, du kannst trotzdem einen Grund nennen, wieso man diesen Schritt macht. Aber offensichtlich dient es nur der Vereinfachung der Rechnungen.
Letztlich hatte ich den Eindruck, dass dem TS die ganze Vorgehensweise nicht klar ist. Deswegen wollte ich nochmal von vorne beginnen, dass man sehen kann, wo und warum man diese Verschärfung macht und auch, dass man sie nicht unbedingt braucht.
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Squire
Senior
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 902
 | Beitrag No.17, eingetragen 2018-11-10
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Danke für die interessante Diskussion.
1) Die "Verschärfung" ist nötig, um die Aussage mit VI zu beweisen.
\
1/sqrt(2n)*(2n+1)/(2n+2)<1/sqrt(2n+2)
ist keine wahre Aussage;
\
1/sqrt(2n+1)*(2n+1)/(2n+2)<1/sqrt(2n+3)
hingegen schon.
2) Etwas weiterführend kann man für n>1 mit VI sogar zeigen:
\
1/sqrt(4n)<(1/2)*(3/4)\cdots((2n-1)/(2n))<1/sqrt(3n)
was damit zusammenhängt, dass
\
lim(n->\inf,sqrt(n)*(1/2)*(3/4)\cdots((2n-1)/(2n)))=1/sqrt(\pi)
Schönes Wochenende!
Grüße Squire
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supermonkey
Senior
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 314
| Beitrag No.18, eingetragen 2018-11-10
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Danke für deinen Beitrag, hab mich wirklich verrechnet. Sorry dafür an den TS!
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.19, eingetragen 2018-11-11
|
Hallo Squire,
danke fürs Nachrechnen! Es stand auch noch auf meiner Liste, aktuell fehlt(e) jedoch die Zeit, selbst mal einen Stift in die Hand zu nehmen.
Dir einen schönen Sonntag!
Gruß,
Küstenkind
PS: Ich freue mich schon auf die Adventszeit. :-)
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