| Autor |
 Ungleichung mit n-ter Wurzel |
|
alinamuell
Junior 
Dabei seit: 08.11.2018
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2018-11-08
|
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten.
Zeigen Sie, dass für alle x \el \IR + (damit sind alle positive reelle Zahlen gemeint) und n \el \IN folgende Ungleichung gelte:
root(n,x) - 1 <= (x-1)/n
Mein Lösungsweg wäre:
root(n,x) <= (x-1)/n + 1
root(n,x) - (x/n) <= - (1/n)+1
Somit ist 1 - (1/n) >= 0
dann
root(n,x) - (x/n) <= 0
root(n,x)<=(x/n)
x <= x^n/n^n
1 <= x^n/(x*n^n)
Hier komm ich aber nicht weiter, könnte jemand mir helfen?
Ich wäre sehr dankbar:)
|
 Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09
|
\
\frameon 1+ u/(n(1+u)) <= wurzel(n, 1+u) <= 1+ u/n
\frameoff
Bew__.:
RS) wurzel(n, 1+u) := 1+a
=> 1+u = ((1+a)^n >= 1+na)__ = 1+na +n -n = 1 - n + n wurzel(n, 1+u)
Verwendet wurde die "\.(Ungleichung von Bernoulli)__".
LS) Andererseits ist wurzel(n, 1+u) = 1/wurzel(n, 1/(1+u)) = 1/wurzel(n, 1 + (-u)/(1+u))
Mit RS) also
wurzel(n, 1+u) = 1/wurzel(n, 1 + (-u)/(1+u)) >= 1/(1 - u/(n*(1+u))) >= 1 + u/(n*(1+u))
Verwendet wurde im letzten Schritt 1/(1-s) >= 1+s für s < 1
aus s^2 >= 0 => 1-s^2 <= 1 => (1+s)(1-s) <= 1.
|
Profil
|
alinamuell
Junior
Dabei seit: 08.11.2018
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09
|
Hallo cis,
erstmal danke, aber es hilft mir leider nicht wirklich weiter.
Ich habe auch versucht die Ungleichung mit HIlfe von Vollstädige Induktion zu lösen. Aber da bin ich auch nicht viel weiter gekommen,
root(n,x) - 1 <= (x-1)/n
IA (n=1): root(1,x) - 1 = 0 <= 0=(1-1)/n
IS: Fixiere ein beliebiges n \el\ \IN
IVor: root(n,x) - 1 <= (x-1)/n
IBeh: root(n+1,x) - 1 <= (x-1)/(n+1)
Und ab diesen Punkt komm ich nicht weiter, da ich nicht weiß wie root(n+1,x) = x^(1/(n+1)) auch noch aderes dargestellt werden kann
|
Profil
|
PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09
|
Hallo,
ich denke mit Induktion kommst du hier nicht weiter, da du keine Chance hast die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.
Warum hilft dir der Beitrag von Cis nicht weiter?
Kannst du seine Lösung nicht nachvollziehen?
Kennst du die Ungleichung von Bernoulli nicht?
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-09
|
\quoteon(2018-11-09 00:52 - alinamuell in Beitrag No. 2)
Ich habe auch versucht die Ungleichung mit HIlfe von Vollstädige Induktion zu lösen.
\quoteoff
Vollständige Induktion kommt durch Vollständige Indoktrination.
|
Profil
|
alinamuell
Junior
Dabei seit: 08.11.2018
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09
|
Hallo,
Die Ungleichung von Beroulli kenn ich.
Ich kann die LÖsung nicht komplett nachvollziehen
z.b. hier in LS) Dieses Schritt
wurzel(n, 1+u) = 1/wurzel(n, 1/(1+u))
wie bekommt man aus wurzel(n, 1+u) , 1/wurzel(n, 1/(1+u))
Ich weiß, dass ich dann für meine Ungleichung x als 1+u definieren soll.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
|
Profil
|
PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-09
|
Es ist
$\dfrac{1}{\sqrt[n]{\dfrac{1}{1+u}}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+u}}}=\sqrt[n]{1+u}$
Also ganz elementare Bruchrechenregeln.
|
Profil
|
xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
 | Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-09
|
Hallo.
EDIT:
Ich habe nicht bemerkt, dass cis Bernoulli schon genannt hat.
Das heisst mein Beitrag ist nicht wirklich eine Ergaenzung.
Dennoch lasse ich es mal stehen, damit du die Aussage hast.
Egal in welchem Semester du bist:
Du solltest Bernoulli's Ungleichung kennen =):
Bernoulli 1
Fuer ganzzahlige nichtnegative \(r\) und reelle \(y\geq -1\) gilt:
\((1+y)^r\geq 1+ry\)
Das ist ganz einfach zu verstehen, wenn man sich dieses Bild eine Minute lang anschaut:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/40599_bernoulli.PNG
(Ist \(r\) uebrigens eine ganze Zahl, dann hast du auf dem Bild eine rote Parabelfoermige Kurve. Das heisst die Ungleichung gilt sogar fuer alle \(x\).)
Kippt man das Bild (das heisst man betrachtet die Umkehrfunktion hat man)
Bernoulli 2
Fuer \(0\leq r\leq 1\) und \(y\geq-1\) gilt:
\((1+y)^r\leq 1+ry\)
Diese zweite Version beweist deine Ungleichung sofort.
Du musst substituieren:
\(r:=1/n\) und \(y=\) etwas mit \(x\).
Versuche herauszufinden, was du fuer \(y\) einsetzt...
Beachte: \(y\geq -1, x>0\)
Gruesse
Das bedeutet ausserdem, dass du hier (bis auf Substitution) die Bernoulli Ungleichung stehen hast.
Jeder Beweis muss also zwingend ein Beweis der Bernoulli Ungleichung sein.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
|
Profil
|
alinamuell
Junior
Dabei seit: 08.11.2018
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09
|
Vielen Dank für die Hilfe. Eure Vorschläge sind sehr hilfrech.
|
Profil
|
couran5
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-13
|
Hallo,
ich wuerde mich auch dafuer interessieren, wie man die Ungleichung loest.
Was ist denn hier die Idee? nach ein paar Umformungen laesst sich die Ungleichung ja schreiben als: \( n\sqrt[n]{x} + 1 \le x+n\)
Damit sieht zumindest die linke Seite sehr stark nach Bernoulli aus.
Soll ich dann jetzt \( \sqrt[n]{x} \) mit x substituieren? Darf ich das?
Dann steht da ja 1 + nx wie bei Bernoulli.
Muesste ich dann zeigen, dass \( x +n \le (x+1)^n \) ist? Dann waere ich ja schon fertig so wie ich das sehe.
|
Profil
|
xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
| Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-14
|
Bernoulli:\(\Rightarrow\)
\(\forall y\in \mathbb{R}_{>-1}\colon \\
\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{1+y}\leq 1+\frac{1}{n}y\)
zu zeigen:
\(\forall x\in \mathbb{R}_{>0}\colon \\
\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{x}\leq 1+\frac{1}{n}(x-1)\)
|
Profil
|
couran5
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-14
|
Ach so dann setze ich x:=(1+y) und dann ist die Aussage bewiesen.
So weit so gut aber wie komme ich jetzt auf deine obige Gleichung?
Die bernoullische Ungleichung lautet ja \((1+y)^n \ge 1 + ny \iff \frac{(1+y)^n}{n} \ge \frac{1}{n} + y\)
Machst du jetzt sowas in der Richtung?
\(\frac{(1+y)^n}{n} \ge (1+\frac{y}{n})^n \ge (\frac{1}{n}+\frac{y}{n})^n \ge 1 + y\ge \frac{1}{n} + y\)
Und am Ende zieht man dann die n-te Wurzel. Ist das so korrekt?
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
