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Analysis » Funktionalanalysis » Beschränktheit eines Operators auf dem Rand eines Halbraums zeigen.
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Universität/Hochschule Beschränktheit eines Operators auf dem Rand eines Halbraums zeigen.
Lorentzkurve
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-09 16:58

\(\begingroup\)
Hallo zusammen, ich hätte eine Frage zur Abschätzung der Norm eines linearen Operators:

Hierbei ist $\mathbb{R}^d_+ = \{x = (x',x_d)\in \mathbb{R}^d: x_d > 0\}$ ein Halbraum im $\mathbb{R}^d$ und $\partial\mathbb{R}^d_+ = \{(x',0): x'\in \mathbb{R}^{d-1}\}\cong \mathbb{R}^{d-1}$ den Rand des Halbraumes.

Sei nun $1 \leq p < \infty$ und $T:C^{\infty}_c(\overline{\mathbb{R}^d_+}) \rightarrow C^{\infty}_c(\mathbb{R}^{d-1})$ definiert über $(Tu)(x') := u(x',0) (x' \in \mathbb{R}^{d-1})$

Ich soll zeigen, dass eine Konstante $C>0$ existiert mit
$||Tu||_{L^p(\mathbb{R}^{d-1})} \leq C||u||_{1,p}$  $u \in C^{\infty}_c(\overline{\mathbb{R}^d_+})$

Wobei hier $||u||_{1,p}$ die Sobolev-Norm bezeichnet.

Meine Idee war es zunächst $u$ durch den Hauptsatz in ein Integral umzuschreiben, bei dem ich die Untergrenze so groß wähle, dass sie wegen des kompakten Trägers verschwindet. Danach weiß ich aber nicht wirklich weiter. Ich weiß nicht wie ich es nach oben gegen die Sobolev-Norm abschätzen soll oder womit.

Ich würde mich über Antworten und Hinweise sehr freuen.

Vielen Dank  smile
\(\endgroup\)


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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2977
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-10 10:24

\(\begingroup\)
Huhu lorentzkurve und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Ist die gesuchte Aussage nicht einfach eine Anwendung des Spuroperators (auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \overline{\mathbb{R}^d_+}$ mit $\mathrm{supp} \, u \subset \Omega$) und die Nutzung des Sobolev'schen Einbettungssatzes?

lg, AK.
\(\endgroup\)


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Lorentzkurve
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15 12:59


Hallo AnnaKath,

das war ein guter Hinweis, vielen Dank :)



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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 609
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-15 13:33


Ich weiß ja nicht, in welchem Kontext diese Aufgabe gestellt wurde, aber ich würde doch vermuten, dass gerade die Existenz des Spuroperators gezeigt werden soll. Wenn ihr das schon in der Vorlesung bewiesen habt, ist das natürlich ok. Sonst warst du im ersten Beitrag schon auf dem richtigen Weg.



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