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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Rechengesetze natürlicher Zahlen über Induktion
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Autor
Universität/Hochschule J Rechengesetze natürlicher Zahlen über Induktion
X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-09 17:53

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!

Bei uns wurden die Addition und Multiplikation zweier natürlicher Zahlen n,m wie folgt definiert:

Addition: $n + 1 = N(n)$ und $n + N(k) = N(n + k)$

Multiplikation: $n \cdot 1 = n$ und $n \cdot N(k) = n \cdot k + n$

wobei mit $N$ die Nachfolgerabbildung gemeint ist.


Zu zeigen sind Assoziativität der Addition, Kommutativität der Multiplikation sowie Distributivität.

Den Beweis zur Assoziativität sollten wir haben, diesen kann ich am Ende zur Verifizierung notieren.

Wir wollten die Kommutativität beweisen:

Dazu muss gezeigt werden, dass $m \cdot n = n \cdot m \forall n \in N$.

Zeige hierzu eine Vorabinduktion: $\forall m \in \IN: m \cdot 1 = 1 \cdot m$.

m = 1 ist offensichtlich wahr.

m -> m + 1

Zu zeigen $(m+1) \cdot 1 = 1 \cdot (m + 1)$

Es ist $(m+1) \cdot 1 = (m+1) = (1+m) = 1 + m \cdot 1 = 1 \cdot N(m) = 1 \cdot (m+1).$


Zeige nun über Induktion über n: $m \cdot n = n \cdot m$

n = 1: Dieser Fall wurde oben betrachtet!

n => n + 1

Zu zeigen: $m \cdot (n+1) = (n+1) \cdot m$

Es ist $m \cdot (n+1) = m \cdot N(n) = m \cdot n + m = n \cdot m + m$ (letzte Gleichheit wegen Induktionsvoraussetzung)

Nun kommen wir aber nicht weiter. Man muss ja irgendwie auf $N(n) \times m$ kommen.


Habt ihr eine Idee?
Wie immer wäre ich

Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 413
Aus: Aalen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09 19:11


Hi.

Schau mal hier.


-----------------
"Der Unterschied zwischen Meister und Amateur ist der, dass der Meister öfter gescheitert ist, als der Amateur es versucht hat."

"Umso mehr ich lerne, umso klarer wird mir wie wenig ich eigentlich weiss."



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X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 357
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 20:15

\(\begingroup\)
2018-11-09 17:53 - X3nion im Themenstart schreibt:

Zu zeigen: $m \cdot (n+1) = (n+1) \cdot m$

Es ist $m \cdot (n+1) = m \cdot N(n) = m \cdot n + m = n \cdot m + m$ (letzte Gleichheit wegen Induktionsvoraussetzung)


Hallo und Danke für deine Antwort!

Finde das nur recht kompliziert notiert und ich würde nicht die komplette Lösung abschreiben.
Kann mit jemand vielleicht direkt in diesem Thread helfen und mir sagen, ob meine Variante im Schritt bisher zielführend ist und wie man weitermachen würde?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Physics
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Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 141
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09 20:34

\(\begingroup\)
Hi X3nion,

also meines Erachtens nach habt ihr das soweit richtig gemacht, auch wenn ich nicht sehe wieso ihr die Vorabinduktion gemacht habt. Im letzten Schritt müsst ihr jetzt eig. nur noch beweisen, dass die Multiplikationsregel auch gilt, wenn  \(k\cdot n+n\) dransteht. Überleg mal wie das gehen könnte.

VG,
Physics

EDIT: Sehe gerade, dass ihr Division noch gar nicht definiert habt. Vermute auch noch nicht die Multiplikation mit einem inversen Element?
\(\endgroup\)


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X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 20:50


Hallo Physics und Danke für deinen Beitrag!

Genau wir hatten ausschließlich die Definitionen, welche in meinem Anfangsbeitrag stehen.
Damit haben wir die natürlichen Zahlen eingeführt und das war auch die 1. Aufgabe dazu.
Wie ist das dann zu lösen?


Viele Grüße,
X3nion




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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-09 20:57


Eig. ist nur dein Timing zur Anwendung der Induktionsvoraussetzung sowie der Multiplikationsregel falsch, Versuche das etwas früher anzuwenden, dann hast es direkt dranstehen.

VG,
Physics



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 21:05

\(\begingroup\)
Mhm also meinst du, dass $m \cdot (n+1) = m \cdot N(n)$ bereits der falsche Schritt ist?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-09 21:07


Der ist noch richtig. Was ist denn N(n)?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 21:35


Hmm also N(n) = (n+1), was kann es sonst sein?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-09 22:27

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
Folgende Reihenfolge funktioniert auf jeden Fall (wobei man für späteres u.U. früheres benutzen muss).

1) $+$ ist assozitativ
2) $1 + n = N(n)$ für alle $n$
3) $N(n) + m = N (n+m)$ für alle $n,m$
4) $+$ ist kommutativ
5) Distributivität: $k\cdot(n+m) = k\cdot n + k\cdot m$ für alle $n,m,k$
6) $\cdot$ ist assoziativ
7) $1\cdot n = n$ für alle $n$
8) $N(n)\cdot m = n\cdot m + m$ für alle $n,m$
9) $\cdot$ ist kommutativ.

(5. und 6. kann man auch ans Ende schieben, werden also für 7.,8.,9. nicht benötigt)
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 23:06


Danke dir für deine Antwort tactac!

Hm aber Physics meinte, ich würde es direkt bekommen, wenn ich anders vorgehen würde.
Wie würde das aussehen? Er meinte ja, das Timing von Induktionsvoraussetzung und Definition von Multiplikation wäre falsch.


Viele Grüße,
X3nion



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-09 23:23


Beweise vor dem, was ich als 9. bezeichnet habe, erstmal 8. Das ist dann in deinem angefangenen Beweis direkt benutzbar.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 00:31


Okay und 8) lässt sich allein anhand der Definitionen beweisen?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-11-10 00:40


Ja, indirekt. Der Beweis, den ich habe, benutzt die Definitionen, Induktion, und die Assoziativität sowie Kommutativität der Addition.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 11:33

\(\begingroup\)
Okay dann versuche ich das mal.

Es ist zu zeigen, dass für alle m,n $\in \IN$ gilt:

$N(n) \cdot m = n \cdot m + m$

Zeige dies über vollständige Induktion nach m.

Induktionsanfang m = 1:

Es ist $N(n) \cdot 1 = (n+1) \cdot 1 = (n+1)$ und $n \cdot 1 + 1 = n + 1$.


Induktionsschritt m => m + 1

Zu zeigen:

$N(n) \cdot (m+1) = n \cdot (m+1) + (m+1)$

Hier komme ich nun nicht mehr weiter. Wie kann ich $N(n) \cdot (m+1)$ unter Verwendung der Definition, Assoziativität sowie Kommutativität der Addition (wie von tactac beschrieben) so umformen, dass ich die Induktionsvoraussetzung $N(n) \cdot m = n \cdot m + m$ benutzen kann?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-11-10 11:44


Du machst die Induktionsbeweise übrigens nicht richtig. Im Schritt musst du nicht zeigen P(n) => P(n+1), sondern P(n) => P(N(n)).



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 11:53

\(\begingroup\)
Hmm okay dann ist zu zeigen, dass $N(n) \cdot N(m) = n \cdot N(m) + N(m)$

Wie forme ich dann $N(n) \cdot N(m) = N(n) \cdot (m+1)$ so um, dass ich die Induktionsvoraussetzung benutzen kann?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-11-10 12:12

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
Verwende die Definition von $\cdot$.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 13:56

\(\begingroup\)
Dann habe ich $N(n) \cdot N(m) = N(n) \cdot m + N(n) = (n \cdot m + m) + N(n)$

Ich will ja auf $N(n) \cdot N(m) = n \cdot N(m) + N(m)$ kommen.

Wie schreite ich nun weiter fort?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 14:14

\(\begingroup\)
Ahh es ist $(n \cdot m + m) + N(n) = (n \cdot m + n) + (m + 1) = n \cdot N(m) + N(m)$,
unter Benutzung des Assoziativgesetzes und Kommutativgesetzes der Addition
Passt das? smile
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-11-10 14:17


Passt.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 18:05


Die Distributivität habe ich selber hinbekommen.
Vielen Dank für eure Hilfe!

Viele Grüße,
X3nion



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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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