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  Elektronengas in Nanoröhre |
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Adiabatisch
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Dabei seit: 12.11.2018
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2018-11-12
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Seit Gegrüßt!
Ich befinde mich derzeit im Bachelorstudium Physik und weiß bei einer Hausaufgabe, für die wir von unserem Professor die Lösung bekamen, nicht weiter. Ja, ich verstehe die Aufgabe trotz Lösung nicht und er sagt, dass zur Klausur eine Aufgabe wie diese kommt... :-( .
Nun zur Aufgabenstellung (ich übersetze vom Englischen ins Deutsche): Gegeben sei ein Nanoröhrchen mit Radius \(\rho_0\) in welchem sich Elektronengas befindet. Der Wellenvektor lässt sich mithilfe von Zylinderkoordinaten in zwei Anteile aufteilen \(\vec{k}=\vec{k}_z+\vec{k}_\rho\), wobei \(\vec{k}_z\) kontinuierlich mit Elektronenzustandsdichte \(L/\pi\) ist und \(k_\rho=\frac{a_{mn}}{\rho_0}\) eine diskrete Menge ist. Gesucht ist der Fermi-Wellenvektor.
Nun zur Lösung:
Go to wave vector space
\(k_z\) is continuous value with density of electronic states \(L/\pi\) which presented by lines but \(k_\rho=k_{mn}=\frac{a_{mn}}{\rho_0}\) is a discrete set of values, hence \(k_z=k_\rho\)
Number of filler states is limited by Fermi vector and can be found from triangle
\(N=2\frac{L}{\pi}\sum_{m,n}\sqrt{k_F^2-k_{mn}^2}=2\frac{L}{\pi}\sum_{mn}\sqrt{k_F^2-\left(\frac{a_ {mn}}{\rho_0}\right)^2}\)
Dividing on the volume of cylinder we got [sic] concentration
\(n=\frac{2}{\pi^2\rho_0^2}\sum_{mn}\sqrt{k_F^2-\left(\frac{a_{mn}}{\rho_0}\right)^2}\)
Changing summ [sic] to integration we got [sic]
\(\sum_{m,n}\sqrt{k_F^2-\left(\frac{a_{mn}}{\rho_0}\right)^2}=\frac{k_F^3\rho_0^2}{\pi}\int_0^1\sqrt{1-t^2}dt=\frac{k_F^3\rho_0^2}{2\pi}\)
and
\(k_F=\pi n^{1/3}\)
Wie man auf die Anzahl der Zustände kommt, hab ich glaube ich halbwegs begriffen, aber was ich derzeit nicht verstehe ist die Transformation der Summe zum Integral. Was mir als erstes auffiel war, dass das Integral falsch ausgewertet wurde und er aber trotzdem das richtige (?) Ergebnis rausbekommt (ex falso qodlibet?). Aber meine hauptsächliche Frage ist: Wie transformiere ich diese Summe zum Integral? Besitze da anscheinend noch ein paar mathematische Defizite :-( .
Wäre echt toll und nett, wenn mir da wer ein paar Tipps geben könnte. :-)
PS: Wäre auch sehr toll, falls jemand ein Buch kennt, in welchem Beispiele und Aufgaben in dieser Art vorzufinden sind.
MfG
Adiabatisch
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Adiabatisch
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Mitteilungen: 3
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-13
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Ich habe einen wichtigen Satz vergessen: "Consider uniform distribution of \(a_{nm}\) with density \(k_F\rho_0/\pi\)."
Tut mir leid...
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Adiabatisch
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Dabei seit: 12.11.2018
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14
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Ich weis nun die Lösung. Für diejenigen, welche es interessiert, zeige ich, wie die Summe transformiert wird.
Als erstes wird \(k_F\) rausgezogen:
\[\sum_{m,n}\sqrt{k_F^2-\left(\frac{a_{nm}}{\rho_0}\right)^2}=k_F\sum_{m,n}\sqrt{1-\left(\frac{a_{nm}}{\rho_0k_F}\right)^2}\]
Nun wird die Summe zum Integral transformiert:
\[k_F\sum_{m,n}\sqrt{1-\left(\frac{a_{nm}}{\rho_0k_F}\right)^2}=k_F\int_0^{\rho_0k_F}\frac{k_F\rho_0}{\pi}\sqrt{1-\left(\frac{a}{\rho_0k_F}\right)^2} da\]
Der zusätzliche Faktor vor der Wurzel kommt davon, dass die Dichte der gleichmäßigen Verteilung \(k_F\rho_0/\pi\) beträgt. Nun wird die Substitution \(t=a/(\rho_0k_F)\) durchgeführt:
\[k_F\int_0^{1}\frac{\rho_0k_F}{\pi}\sqrt{1-t^2} (\rho_0k_F dt)=\frac{k_F^3\rho_0^2}{\pi}\int_0^{1}\sqrt{1-t^2}dt\]
Dieses Integral gibt \(\pi/4\). Es wurde aber, ohnes es zu erwähnen, beinhart durch \(1/2\) angenähert, was natürlich etwas zu Verwirrungen führte:
\[\frac{k_F^3\rho_0^2}{\pi}\int_0^{1}\sqrt{1-t^2}dt\approx\frac{k_F^3\rho_0^2}{2\pi}\]
Viele Grüße
Adiabatisch
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| Adiabatisch hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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