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 Zeigen Sie, dass Φ(s) := B(s,t)Γ(s + t)/Γ(t) logarithmisch konvex ist |
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Physics
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Mitteilungen: 398
 |  Themenstart: 2018-11-15
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Hallo Zusammen,
also es geht um folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass \(\Phi(s):=B(s,t)\Gamma(s+t)/\Gamma(t)\) logarithmisch konvex ist. \(\Phi(s+1)=s\Phi(s)\) und \(\Phi(1)=1\)
Wobei noch ein Hinweis gegeben ist:
Definition: \(f:D-\IR^{+}\) logarithmisch konvex \(\Leftrightarrow\) log(f(x)) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x,y \in D, \lambda \in [0,1]: f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}\)
Also:
\(\Phi(s) = \frac{\int_{0}^{1} x^{s-1}(1-x)^{t-1} dx \int_{0}^{\infty} x^{s+t-1}e^{-x} dx}{\int_{0}^{\infty} x^{t-1}e^{-x} dx}\)
So jetzt wende ich mal eine der obigen Definitionen an:
\(\Phi(\lambda x+(1-\lambda)y) = \frac{\int_{0}^{1} x^{\lambda x+(1-\lambda)y-1}(1-x)^{t-1} dx \int_{0}^{\infty} x^{\lambda x+(1-\lambda)y+t-1}e^{-x} dx}{\int_{0}^{\infty} x^{t-1}e^{-x} dx}\)
Nun müssen diese Integrale dann geschickt angewendet werden, so dass man für \(p=\frac{1}{\lambda}\) und \(q=\frac{1}{\lambda-1}\) die Hölder'sche Ungleichung verwenden kann. Nun ist mir aber nicht wirklich klar wie ich da vorgehen soll.
Bin dankbar für Hilfe.
VG,
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15
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So ich hätte mal nen Ansatz:
\(B(s,t) = \int_{0}^{1} x^{s-1}(1-x)^{t-1} dx \leq B(s)^\lambda B(m)^{1-\lambda}\) mittels Hölder, wobei \( p=1/\lambda\) und \(q=1/1-\lambda\)
Nun haben wir also schonmal:
\(\Phi(\lambda s+(1-\lambda)m)\leq B(s)^\lambda B(m)^{1-\lambda}\frac{\int_{0}^{\infty} x^{\lambda s+(1-\lambda)m+t-1}e^{-x} dx}{\int_{0}^{\infty} x^{t-1}e^{-x} dx}\)
Jetzt wieder Höldergleichung auf das Integral \(\frac{\int_{0}^{\infty} x^{\lambda s+(1-\lambda)m+t-1}e^{-x} dx}{\int_{0}^{\infty} x^{t-1}e^{-x} dx}\) mit \( p=1/\lambda\) und \(q=1/1-\lambda\)
es folgt:
\(\Phi(\lambda s+(1-\lambda)m)\leq B(s)^\lambda B(m)^{1-\lambda}\frac{\Gamma(s)^\lambda}{\Gamma(t)^\lambda}\frac{\Gamma(m)^{1-\lambda}}{\Gamma(t)^{1-\lambda}}=\Phi(s)^\lambda\Phi(m)^{1-\lambda}\)
Was ja gerade zu zeigen war. Wäre das so in Ordnung?
VG
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