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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Abbildung mit linearen Operatoren diffbar
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Autor
Universität/Hochschule J Abbildung mit linearen Operatoren diffbar
Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-15



Moinsen liebe Community,

ich bin bei folgender Aufgabe ziemlich ratlos:

Seien A und B zwei zeitabhängige stetige lineare Operatoren auf einem normierten Raum.
Zeigen Sie, dass t→[A(t),B(t)] differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung.

Meine Gedanken dazu:
Der lineare Operator beschreibt eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (i.n unserem Fall normierte VR). Das heißt wir haben eine Abbildung von t auf zwei (stetig) lineare Abbildungen, die zeitabhängig sind. (also auch von t abhängig).

Meine Idee wäre es zu zeigen, dass die beiden linearen Operatoren diffbar sind, woraus die Diffbarkeit für die Abbildung folgt(?).
Aber wie man das anstellt, wenn das richtig sein sollte, ist mir nicht klar. Genauso wenig Ahnung habe ich bei dem differenzieren der Abbildung.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Liebe Grüße



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MeWi
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-15

\(\begingroup\)
Die Aufgabe ist unvollständig. Ich nehme mal an, dass $t\mapsto A(t)$ und $t\mapsto B(t)$ differenzierbare Kurven in $L(E)$ sein sollen. Ist das richtig? Und ist $[A,B]$ der Kommutator von $A$ und $B$?


[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Funktionalanalysis' von MeWi]
\(\endgroup\)


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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15


Guten Abend MeWi, ähnliche Fragen habe ich mir auch gestellt. Leider muss ich sagen, dass ich die vollständige Aufgabe hier gepostet habe.
Auf dem Übungszettel steht nur:

Seien A und B zwei zeitabhängige stetige lineare Operatoren auf einem normierten Raum.
Zeigen Sie, dass t → [A(t),B(t)] differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung.

 



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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-15


So lässt sich die Aufgabe eben einfach nicht beantworten. Habt ihr vielleicht "zeitabhängiger linearer stetiger Operator" irgendwo definiert?



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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15


Im Skript haben wir eigentlich nur die klassischen Definitionen von differenzierbaren Kurven und halt was ein Operator an sich ist.
Jedoch ist vielleicht von Bedeutung, dass ich Physik studiere und so die Wahrscheinlichkeit eigentlich hoch ist, das auf Kommutatoren abgezielt wird (Quantenmechanik usw.)



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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15


So ich habe mein Übungsgruppenleiter jetzt per Mail gefragt, wie man sich das ganze vorzustellen hat.
Er hat mir beide deiner Fragen mit "Ja" beantwortet.
Also bezeichnet [A,B] den Kommutator von A und B. Außerdem sind mit t -> A(t) und t -> B(t) differenzierbare Kurven gemeint.



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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-16


In dem Fall musst du im Wesentlichen zeigen, dass das Produkt zweier differenzierbarer operator-wertiger Funktionen wieder differenzierbar ist, und die Ableitung davon berechnen. Das funktioniert fast genauso wie im skalaren Fall.



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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16


Ich habe leider ein Brett vor dem Kopf und weiß nicht richtig wie ich diese zwei linearen Operatoren handhaben kann.
Für mich wäre so etwas wie F(t)=exp(At)exp(Bt) eine operator-wertige Funktion.
Geht das in die richtige Richtung? und kann ich dann zweier solcher Funktionen einfach nehmen?
Wie du merkst machen diese Operatoren mir ordentlich zu schaffen.

Ich hoffe du hast noch ein wenig Geduld mit mir.

Grüße

Pavel



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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
Ob dein $F$ eine operatorwertige Funktion ist, hängt natürlich sehr davon ab, was $A$ und $B$ sein sollen.  wink

In diesem Fall musst du auch gar nicht so viel über Operatoren wissen. Das Wichtigste ist: Du kannst zwei Operatoren multiplizieren und die Multiplikation ist stetig. Wenn es dir einfacher fällt, kannst du auch überall erst einmal "Operator" durch "Matrix" ersetzen.

Zur eigentlichen Aufgabe: Kennst du den Beweis für die Produktregel skalarer Funktionen? Damit solltest du dich vertraut machen, bevor du die Operatoren angehst.

\(\endgroup\)


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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16


Erstmal schon mal danke für die Hilfe.
Ich habe hier eine alte Frage gefunden und frage mich, ob das in die richtige Richtung geht.
https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=94757&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F



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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-17


Das geht in die richtige Richtung, allerdings kann man bei Operatoren eigentlich nicht so ohne Weiteres mit Matrixeinträgen rechnen (obwohl es Physiker gern trotzdem tun). Der koordinatenfreie Beweis ist aber auch nicht wirklich schwerer. Wie schon gesagt, als erstes solltest du den Beweis für die skalare Produktregel rekapitulieren.



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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19


Danke für deine Hilfe.

Ich konnte die Aufgabe letztendlich mit deinen Tipps nach einiger Zeit lösen.


Grüße

Pavel



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Pavel478 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pavel478 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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