Die Mathe-Redaktion - 19.12.2018 17:09 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 606 Gäste und 17 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Teilerfremde Elemente in einem ZPE-Ring
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Teilerfremde Elemente in einem ZPE-Ring
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3020
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-15

\(\begingroup\)
Vorraussetung ist ein ZPE-Ring z.B. $\mathbb Z$

13. Continuing Problem 12, show that the number of positive integers less than or equal to n that are relatively prime to n is
$\displaystyle\varphi(n) = n(1 − 1/p_1)(1-1/p_2)\cdot \ldots 1/(1-p_3)$.

Das Beispel aus der Aufgabe 12 liefert:

$\displaystyle \varphi(n)=300\cdot(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5}) = 300 *(\frac{1}{2})*(\frac{2}{3})*(\frac{4}{5})$ =80 zu 300 teilerfremde Zahlen, alle die keinen Primteiler 2, 3 oder 5 haben

Klar ist unter n Zahlen sind $\frac{n}{2}$ durch 2 teilbar.
Also 150 und 150 nicht.
Unter n Zahlen sind $\frac{n}{3}$ duch 3 teilbar.
Also 100 aber 200 nicht
Unter n =300 Zahlen sind 60 durch 5 teilbar, und 240 nicht.
Unter n =300 Zahlen durch 3 teilbare Zahlen sind 100 und 200 nicht.
Unter n =300 Zahlen durch 5 teilbare Zahlen sind 60 und 240 nicht.

noch 10 aus n =300 Zahlen:
$\displaystyle \{30,60,90,\ldots 300\}$ sind gleichzeitig durch 2,3 und 5 teilbar. also durch 30.
Alle anderen die also weder durch 2 (150) noch durch 3 (200) noch durch 5 (60) teilbar sind, beginnend mit 11,13,17,...  enden mit 299 (=13*23), Wieviel sind das?
Solche die Primteiler 2 oder 3 oder 5 haben sind 150+100+60 = 310.
Sei $\displaystyle p_4=7,p_5=11,p_6=13,p_7=17,p_8=19, p_n=299$.
Alle $\displaystyle p_4^{e_4}*p_5^{e_5}*p_6^{e_6}*p_7^{e_7}*p_8^{e_8}*\ldots*p_x^{e_x}$

sind solche, die keine Primteiler <7 haben: $11,13,17,19,23,29..299$.
Darstellbar also als
$\displaystyle p_4^{e_4}*p_5^{e_5}*p_6^{e_6}*p_7^{e_7}*p_8^{e_8}*\ldots *p_x^{e_x}$,
beginnend mit 11,13,17,... endend mit $23*13=299$. Nicht durch 2,3,5, den Primteilern von 300, oder von cardinal (300)=2*3*5=30.

Hier ist $\displaystyle \varphi(n)=80$.
Diese 80 Zahlen haben keine Primteiler 2,3 oder 5 und sind daher Teilerfremd zu denen, die 2,3 oder 5 als Primfaktoren. Wieviel aber sind  das? Dazu musste ich in den solutions nachsehen..ist eine ziemlich Rechnerei...

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
supermonkey
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 167
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
Hallo Jürgen,

also wir haben ja für $n\in \mathbb N$: $\varphi(n):=|\{x\in \mathbb N | 1\leq x \leq n, ggT(x,n)=1 \}|$

Man rechnet erstmal $\varphi(p^k)$ für p Primzahl aus und beweist dann, dass wenn $m,n$ teilerfremd sind, $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ gilt. Dann erhält man die Formel nach Primfaktorisierung.

Versuche mal zu bestimmen, was $\varphi(p^k)$ ist.

In dieser Vorlesung wird das übrigens schön erklärt.

www.youtube.com/watch?v=I74D-g1ZbDQ
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3020
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 09:48 - supermonkey in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Jürgen,

In dieser Vorlesung wird das übrigens schön erklärt.

www.youtube.com/watch?v=I74D-g1ZbDQ
jo merci es geht ja um die $\varphi(n)$ die sog eulersche. Wieviel Zahlen sind zu n Teilefremd? erklaert gut in de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl $\varphi(p) = p-1$.. etc
$\varphi(pqr)=(p-1)(q-1)(r-1)$ hier also $\varphi(p^iq^jr^k) = \varphi(p^2qr^2) =\varphi(2)^2*\varphi(5)^2*\varphi(3)=32$ zu 300 teilerfremde Zahlen.






\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1963
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 18:46 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
$\varphi(pqr)=(p-1)(q-1)(r-1)$ hier also $\varphi(p^iq^jr^k) = \varphi(p^2qr^2) =\varphi(2)^2*\varphi(5)^2*\varphi(3)=32$ zu 300 teilerfremde Zahlen.


Nein, das Ergebnis ist $80$, wie du selbst oben geschrieben hast.

Deine angewandte Formel $\varphi(p^k) = \varphi(p)^k$ ist falsch!

Es gilt $\varphi(p^k) = (p-1)p^{k-1}$. Warum?


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3020
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 19:24 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:

Deine angewandte Formel $\varphi(p^k) = \varphi(p)^k$ ist falsch!

Es gilt $\varphi(p^k) = (p-1)p^{k-1}$. Warum?

$\varphi(3^3)=\varphi(3)*\varphi(3)*\varphi(3)=8$ . meine ich ..

$\varphi(p^k) = 2*3^{2}=18$ sagst du?
was nu?

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4339
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 19:42 - juergen007 in Beitrag No. 4 schreibt:
$\varphi(3^3)=\varphi(3)*\varphi(3)*\varphi(3)=8$ . meine ich ..

$\varphi(p^k) = 2*3^{2}=18$ sagst du?
was nu?

Es bieten sich hier zwei Möglichkeiten an um herauszufinden, wer hier Recht hat.

a) Durch Münzwurf.

b) Man zählt in der Menge {0,1,2,3,...,25,26} die Zahlen, die zu 27 teilerfremd, also dann nicht durch 3 teilbar sind.

Methode a) geht schnell, ist aber sehr fehleranfällig, Methode b) ist dagegen vergleichsweise viel aufwändiger, liefert dafür aber (meist) das exakte Ergebnis!  biggrin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3020
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
die abzaehlmethode liefert 18, alle nicht durch p=3 teilbaren Zahlen.

ist aber mühselg..
aber in gedenken, dass für die Euler funktion $\varphi(a*b) =\varphi(a)\varphi(*b)$ gelten soll sagt Euler.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4339
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 20:10 - juergen007 in Beitrag No. 6 schreibt:
aber in gedenken, dass für die euler funktiom $\varphi(a*b) =\varphi(a)\varphi(*b) gelten soll sagt euler.

Du meinst wohl
\[\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\] für alle positiven ganzen Zahlen $a$ und $b$. Wenn ja, dann würde sich Euler wohl im Grab umdrehen.  biggrin

Tatsächlich muss man nämlich hier noch zusätzlich ggT$(a,b)=1$ voraussetzen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3020
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 20:19 - weird in Beitrag No. 7 schreibt:

Du meinst wohl
\[\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\] für alle positiven ganzen Zahlen $a$ und $b$. Wenn ja, dann würde sich Euler wohl im Grab umdrehen.  biggrin

Tatsächlich muss man nämlich hier noch zusätzlich ggT$(a,b)=1$ voraussetzen.

Bisschen bewegung schad ihm nicht, aber hier sind a,b,c nicht teilerfremd sogar gleich und es ist $\varphi(abc) \neq \varphi(a^3)$?
$\varphi(p^n)$ oder $\varphi(2^6)$ sind offenbar $= 32 = p^{n-1}$. Na gut so sei es.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1963
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-16

\(\begingroup\)
2018-11-16 20:39 - juergen007 in Beitrag No. 8 schreibt:
 
$\varphi(p^n)$ oder $\varphi(2^6)$ sind offenbar $= 32 = p^{n-1}$. Na gut so sei es.


Überlege eventuell mal genau, ob das wirklich für ALLE Primzahlen $p$ oder eventuell nur eine recht kleine Teilmenge gilt.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3020
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19

\(\begingroup\)
2018-11-16 21:25 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 9 schreibt:
2018-11-16 20:39 - juergen007 in Beitrag No. 8 schreibt:
 
$\varphi(p^n)$ oder $\varphi(2^6)$ sind offenbar $= 32 = p^{n-1}$. Na gut so sei es.


Überlege eventuell mal genau, ob das wirklich für ALLE Primzahlen $p$ oder eventuell nur eine recht kleine Teilmenge gilt.


Die richtige Frage ist wie berechnet man $\varphi(n)$ , wenn z.B.
$\displaystyle n =2^2*3^3*5^2*7 = 6300, \varphi(6300)= \varphi(2)^2*\varphi(3)^2*\varphi(5)^2*\varphi(7)= 2*4*16*6=768$, (eher nicht) oder allgemein: Was ist $\displaystyle n = p_1^{e_1} * p_2^{e_2} * p_3^{e_3} * p_4^{e_4} * \ldots *p_r^{e_r}$, wenn
$\displaystyle \varphi(n) =\prod \varphi(p_i)^{e_i}$? sicher auch nicht, denn dann waere fuer $\displaystyle n = 2^{2} *3^{2} * 5^{2}$ dann $\varphi(n)=32$ falsch.
Also ich suche die allgemeine Formel fuer
$\displaystyle \varphi(n)$, wenn $\displaystyle n = p_1^{e_1} * p_2^{e_2} * p_3^{e_3} * p_4^{e_4} * \ldots *p_r^{e_r}$.





\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
supermonkey
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 167
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-19

\(\begingroup\)
Ja, das ist die richtige Frage, und die richtige Antwort erhältst du wenn du so vorgehst wie ich es eingangs gesagt habe.

Da alle $p_i$ teilerfremd gilt $\varphi(\Pi_i p_i^{e_i})=...$

Wegen $\varphi(p_i^{e_i})=p^{e_i}-p^{e_i-1}$ gilt weiter $=...$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergen007 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]