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  injektive Abbildung, Bijektion |
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InWi
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Wohnort: In de Näh vun Mannem
 |  Themenstart: 2002-10-31
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Ich habe einen Lösungsansatz zu einer Aufgabe, der mir vom Gefühl her irgendwie nicht richtig vorkommt, von dem ich aber trotzdem Denke dass er in sich logisch schlüssig ist.
Es geht um folgende Aufgabe:
Sie M eine Menge und N eine Teilmenge von M. Man zeige:
Gibt es eine injektive Abbildung h: M --> N, dann gibt es eine Bijektion g: M --> N.
Hinweis: Es sei A0 := M - N. Weiter sei rekursiv für i ³ 1 die Menge Ai :=h(Ai-1) und schließlich A:= È [i ³ 1] Ai (gemeint ist die Vereinigung der Mengenfamilie {Ai}). Dann tut die Abbildung g: M --> N, gegeben durch g(x) = h(x) für x Î A und g(x) = x für x Î M-A, das Gewünschte.
Ich habe nur folgenden Lösungsansatz erarbeitet, der mir nicht ganz koscher vorkommt:
Überlegung:
Da N Í M muß N £ M sein, da N sonst eine Obermenge von M wäre. Da die injektive Abbildung h: M --> N von M auf N dadruch definiert ist, daß jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein Y aus dem Wertebereich zugeordnet wird ( x ¹ x2 ==> f (x) ¹ f (x2 ), kann es nicht sein, dass M > N ist (Weil N könnte höchsten größer sein, dann aber keine Teilmenge von N mehr sein könnte) ==> also gilt M = N.
==> g: M --> N könnte also noch surjektiv oder bijektiv sein.
Wenn g: M --> N bijektiv wäre, müßte jedes n Î N genau einem m Î M zugeordnet sein. Wenn g: M --> N bijektiv ist, ist dies nur mit zwei gleich großen Mengen möglich.
oder? ........ Wo liegt mein Denkfehler, bzw. ist dies eine mathematisch korrekte Überlegung?
P.S.
ich bin mir nicht sicher aber eventuell könnte der Fehler darin liegen, dass bei einer injektiven Abbildung nicht jedem x aus dem Def-Bereich ein Y zugeordnet sein muß.
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matroid
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-31
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Hi InWi,
ohne in die Details zu gehen:
Eine Bijektion gibt es genau dann, wenn die Mengen - wie Du es nennst - 'gleich groß' sind. Das ist richtig, nur ist der Begriff 'gleich groß´ bei nicht endlichen Mengen kompliziert (Cantor usw.).
Man kann z.B. die natürlichen Zahlen auf die geraden natürlichen Zahlen injektiv abbilden. Tatsächlich gibt es genauso viele gerade nat. Zahlen wir nat. Zahlen.
Gruß
Matroid
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InWi
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-31
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Äh ja und wie kann ich jetzt die Aufgabe lösen?
mfg Inwi
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Ende
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-31
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Du musst beweisen, dass die im Hinweis konstruierte Abbildung g bijektiv ist. Ich uebersehe jetzt nicht, wie kompliziert das ist, aber darauf laeuft es wohl hinaus.
Die Aufgabe ist nicht trivial.
Gruss, E. 
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matroid
Senior 
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-10-31
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Also für endliche Mengen kann man das abhaken, denn dann muß M=N sein.
Bleiben die nicht endlichen Mengen.
Wie sieht eine injektive Abbildung von IN -> Gerade Zahlen aus?
Nach Aufgabe scheint es nicht so, daß die injektive Abbildung zugleich schon bijektiv ist. Sag eine injektive Abbildung von IN->Gerade Zahlen, die nicht bijektiv ist.
@Ende: Ich hab's auch jetzt nicht gemacht, aber es kann nicht so schwer sein. Und wenn ich Unrecht habe, dann kann man den Beweis in einem Buch finden.
Gruß
Matroid
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Ende
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-10-31
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Hallo, InWi und Matroid!
Ich will nun selbst wissen, wie schwierig die Aufgabe ist.  Deshalb hier ein Angebot:
Ich versuche, die Injektivitaet von g nachzuweisen. Dabei moechte ich, wie ich das schon oefter bei Matroid gesehen habe, den Beweis live entwickeln. Evtl. werden also Sackgassen im Beweis zu finden sein. Dadurch moechte ich nahebringen, wie man an so einen Beweis herangehen koennte.
Hierzu:
Vorueberlegung (das ist eine Behauptung, die zu beweisen ist):
g ist disjunkt zusammengesetzt aus zwei injektiven Teilabbildungen
g1:A -> A, x -> h(x), und
g2:X\A -> X\A, x -> x.
Beweis:
Klar ist: g ist tatsaechlich zusammengesetzt aus g1 und g2. g2 ist tatsaechlich eine injektive Abbildung von X\A nach X\A. g1 ist tatsaechlich injektiv, weil g1 = h|A (lies: 'h eingeschraenkt auf A') injektiv ist.
Auf den ersten Blick nicht klar ist, dass g1(A) Í A ist.
Wir weisen dies nach. Es sei dazu x Î A vorgegeben. Dann gibt es ein i Î IN mit x Î Ai. Nach Definition ist dann h(x) Î Ai+1 Í A.
Damit ist also gezeigt, dass g disjunkt zusammengesetzt aus zwei injektiven Abbildungen ist.
Damit ist g:M -> M in der Tat injektiv.
Nun bleibt fuer Dich noch der Nachweis der Surjektivitaet uebrig.
Gruss, E.
P.S.: Ich muss Matroid im Nachhinein recht geben. Die Aufgabe ist tatsaechlich nicht so kompliziert, wie ich zuerst den Eindruck hatte. Du musst nur konsequent die Definitionen verwenden.
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InWi
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-31
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gut danke für den Hinweis - ich werd mich nochmal dran versuchen
mfg InWi
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InWi
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-02
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Sorry,
aber ich steig bei der Aufgabe einfach nicht durch. Nachdem ich nochmal 2 Stunden an der Aufgabe gesessen habe, kam mir als einzige Erkenntnis wie unglaublich beschränkt doch mein mathematisches Verständnis ist. Schon beim richtigen Verständnis des Aufgabentextes haperts bei mir. Mir ist schon klar, dass was ich zu beweisen habe. Aber warum wird denn diese Mengenfamilie A (die stellvertretend für M steht - so hab ichs wenigstens verstanden) im Hinweis eingeführt. Ich versteh einfach nicht wie mir das weiterhilft die surjektivität zu beweisen. Für mich is des einfach zu komplex.
Es ist wirklich nicht so, dass ich die Lösungen der Aufgaben hier einfach Abschreiben will, weil ich zu faul bin. Ich kanns nur einfach nicht.
 Bitte helft mir
mfg InWi
und vielen, vielen dank für die Mühen die ihr euch mit mir macht - ich bin nun halt mal ein hoffnungsloser Fall ..........
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matroid
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| Beitrag No.8, eingetragen 2002-11-04
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Tja, Dein Problem wollen wir nicht vergessen. Ich hoffe es hat noch einen Tag Zeit.
Gruß
Matroid
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InWi
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|  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-04
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Hallo matroid
... hast du heute Abend Spätschicht *gg*
Naja im Prinzip net, muß morgen um 11.30 dass Übungsblatt abgeben, aber is net so schlimm, hoffe mal dass ich in den anderen beiden Aufgaben 4 Punkte hab, dann passts schon. Mach dir keinen unnötigen Stress. Aber die Lösung hätte ich schon irgendwann noch ganz gern, habe nämlich einen gewissen Ehrgeiz entwickelt endlich zu verstehen, wie die blöde Aufgabe zu lösen is (oder überhaupt erstmal den Aufgabentext zu verstehen).
mfg InWi
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Martin
Senior
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2002-11-04
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Hi InWi!
Zur Surjektivität:
Nehmen wir an, h wäre nicht surjektiv. Dann gäbe es ein u e N wofür es kein x e M gibt, mit h(x) = u. Sehen wir mal, ob u e A gilt. Damit es in A liegt, muss es in einem Ai mit i>=1 liegen.
In A0 ist u nicht, denn A0 = M - N (und da liegen nur alle Elemente, die in M aber nicht in N liegen).
In A1 kann es auch nicht sein, da A1 = h(A0) ist und es kein Element von M und damit von A0 gibt das auf u abbildet. Entsprechend für alle Ai. Also liegt u auch nicht in der Vereinigung und nicht in A.
Wenn jetzt u nicht Element von A ist wird es lt. Definition von g sich selbst als Urbild zugeordnet: g(u) = u. (Surjektivität repariert).
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-11-04 03:35 ]
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InWi
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-04
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super ...
... kam grade noch rechtzeitig 
... vielen dank
mfg InWi
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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