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Strukturen und Algebra » Ringe » R faktoriell impliziert R[X] faktoriell
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Universität/Hochschule R faktoriell impliziert R[X] faktoriell
dude1662
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  Themenstart: 2018-11-24

Wir hatten im Skript einen Beweis der aussagt, dass wenn ein Ring R faktoriell ist, R[X] faktoriell ist. Beweisstrategie war zunächst zu zeigen dass Primelemente aus Q(R)[X] auch prim sind in R[X] und Primelemente in R prim in R[X] sind. Dann wurde über die Primfaktorzerlegung von Q(R)[X] gezeigt dass es eine Primfaktorzerlegung in R[X] gibt. Nun zu meiner Frage? Wieso ist diese eindeutig? Bei der Eindeutigkeit wurde nur auf den Satz hingewiesen der zeigt, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist falls irreduzible Elemente prim sind ohne zu zeigen dass irreduzible Elemente in R[X] prim sind. Wieso ist das der Fall, bzw. kann man das aus dem Beweis schließen oder ist die Aussage trivial und ich stehe auf dem Schlauch?


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Dune
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-24

Hi dude, man kann tatsächlich sehr leicht allgemein zeigen, dass ein Noetherscher Integritätsring genau dann eindeutige Primfaktorzerlegungen besitzt, wenn alle irreduziblen Elemente prim sind: je 2 solche Zerlegungen besitzen einen gemeinsamen Primfaktor, den man kürzen kann. Die Behauptung folgt per Induktion. Man muss also in deinem Fall nur zeigen, dass alle irreduziblen Elemente in $R[X]$ auch prim sind. Wenn ich mich richtig erinnere, dann läuft die Beweisstrategie etwa so: Wenn $p \in R[X]$ irreduzibel vom Grad 0 ist, dann handelt es sich dabei um ein irreduzibles Element aus R, dass dort folglich prim ist. Also ist $R[X]/(p) \cong (R/p)[X]$ ein Integritätsring, womit $p$ auch als Element von $R[X]$ prim ist. Wenn $f \in R[X]$ irreduzibel vom Grad $\geq 1$ ist, dann ist es (Lemma von Gauß) auch in $Q(R)[X]$ irreduzibel, also prim (da $Q(R)[X]$ ein Hauptidealring ist). Also ist $Q(R)[X]/(f)$ ein Integritätsring (sogar ein Körper). Nun kann man sich überlegen, dass der natürliche Homomorphismus $R[X]/(f) \to Q(R)[X]/(f)$ injektiv ist (wieder Lemma von Gauß). Also ist auch $R[X]/(f)$ ein Integritätsring, also ist $f \in R[X]$ prim. VG Dune


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dude1662
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-26

Vielen Dank für die Hilfe!


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dude1662
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 18
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-18

Wieso braucht man dass der natürliche homomorphismus von R[X]/(f) nach Q[X]/(f) injektiv ist? Ist R[X]/(f) nicht eine Teilmenge vom Q[X]/(f) und somit insbesondere auch Integritätsbereich? Edit: Das ist ja das was mit der natürliche homomorphismus ist injektiv gemeint ist. Das ich R[X]/(f) ala Teilmenge von Q[X]/(f) auffassen kann... Hab's jetzt verstanden haha.


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