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Funktionentheorie » Holomorphie » Komplexe Multiplikation elliptischer Funktionen
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Universität/Hochschule Komplexe Multiplikation elliptischer Funktionen
xiao_shi_tou_
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  Themenstart: 2018-11-27

Hallo. Ich versuche Komplexe Multiplikation zu verstehen. Auf Wikipedia findet sich folgende Definition von komplexer Multiplikation (für imaginäre quadratische algebraische Zahlenkörper). https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/40599_cm.PNG Als Beispiel wird die Elliptische Kurve \(\mathbb{C}/{\theta\mathbb{Z}[i]}\) angegeben und es wird behauptet, dass die entsprechenden Kurven die Form \(Y^2=4X^3-aX,a\in\mathbb{C}\).. Ich habe eine Menge Fragen. Vielleicht kennt sich jemand damit aus und kann mir die eine oder andere beantworten. Fragen 1.a Wie kann man einen komplexen Torus \(\mathbb{C}/{\theta\mathbb{Z}[i]}\) als Elliptische Kurve (Familie von Elliptischen Kurven?) auffassen? Kann mir das jemand erklären, oder Literatur dazu empfehlen? 1.b Warum haben die Elliptischen Kurven in diesem Fall die oben angegebene Form? 2. Was heisst "algebraische Relation"? (heisst das \(g(f(z),f(\lambda z))=0\)) für ein Polynom \(g\in\mathbb{C}[X,Y]\)?) 3. Soll die algebraische Relation zwischen \(f(\lambda z)\) und \(f(z)\) für alle \(z\) gelten? Soll sie unabhängig von \(z\) sein, oder kann es für verschiedene \(z\) verschiedene Relationen geben? Das geht nicht aus dem Artikel hervor, obwohl ich vermute, dass es eine Relation für alle \(z\) geben soll. Viele Grüße

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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-02

Hallo xiao_shi_tou_, leider verstehe ich viel zu wenig von diesem Thema, aber eine Anwendung findet sich in dem Artikel The Mathematical Structure of Escher’s Print Gallery von B. de Smit und H. W. Lenstra Jr. Dort wird das Buch The Arithmetic of Elliptic Curves von Joseph H. Silverman zitiert, das auch auf der Wikipedia-Seite zur complex multiplication als Referenz angegeben wird. Einige der bei der Analyse des Bilds von Escher entstandenen Graphiken und eine Animation sind auf der Seite http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php zu sehen. Servus, Roland

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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-03

Danke. Ich habe es mittlerweile schon dort nachgelesen. Ein tolles Buch.

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xiao_shi_tou_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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