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  Beweis mit Beträgen |
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civilengineer
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 |  Themenstart: 2018-12-09
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Hi,
hab eine Aufgabe, bei der der entscheidende Schritt zur Lösung irgendwie noch fehlt. Hier ist sie:
Voraussetzungen:
abs(x-x_0) < min ( 1 , \epsilon/(2 (abs(y_0)+1)) ) und abs(y-y_0) < \epsilon/(2 (abs(x_0)+1))
Zu zeigen:
abs(x y-x_0 y_0) < \epsilon
Versuch:
min ( 1 , \epsilon/(2 ( abs(y_0) + 1 ) ))<= 1/2 (1+\epsilon/(2 ( abs(y_0) + 1 )) )<1+\epsilon
und somit abs( x - x_0 )<1+\epsilon und abs( y - y_0 )<\epsilon.
Mit dem Transitivitätsgesetz der Multiplikation folgt:
abs((x-x_0)(y-y_0))<\epsilon+\epsilon^2
Dann fange ich an, irgendwelche Rechnungen durchzuführen, die nicht zum Ziel führen...
Danke für die Hilfe im Voraus.
Viele Grüße
CE
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-09
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Hallo civilengineer,
das kannst du nicht zeigen, weil es nicht stimmt.
Gegenbeispiel: $y_0=1000,y=3000,x_0=0,x=0.99,\varepsilon=2001$
Die Aussage wird aber richtig, wenn du die Abschätzung $|y-y_0|<\cdots$ durch $|y-y_0|<\min(1,\cdots)$ ersetzt. Oder wenn du den Nenner $2|x_0|+1$ durch $2(|x_0|+1)$ ersetzt.
--zippy
Da der Matheplanet heute etwas instabil zu sein scheint und ich daher nicht mehr online sein werde, ergänze ich jetzt schon mal einen Lösungshinweis. Schreibe:$$xy-x_0y_0=(x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)y_0+x_o(y-y_0)$$Verwende dann die Dreiecksungleichung und schätze nach folgendem Muster ab:$$\lambda|x-x_0||y-y_0|+|x_0||y-y_0|<|y-y_0|(\lambda+|x_0|)$$Je nachdem, welche meiner beiden oben geäußerten Vermutungen zur Rettung der zu beweisenden Aussage zutrifft, ist entweder zweimal $\lambda=1/2$ oder einmal $\lambda=1$ und einmal $\lambda=0$ zu setzen.
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civilengineer
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-12-09
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\quoteon(2018-12-09 15:02 - civilengineer in Beitrag No. 2)
*push*
\quoteoff
Inzwischen hast Du kommentarlos die Voraussetzungen in deinem Startbeitrag korrigiert, indem du $2|x_0|+1$ durch $2(|x_0|+1)$ ersetzt hast.
Warum gehst du jetzt nicht dem Hinweis in meinen Beitrag nach, statt mit einem "*push*" zu antworten?
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civilengineer
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Hi,
dachte du bist heute nicht mehr online. Daher.
Gut, dass du wieder online bist. Wie kommt man auf die lambdas?
Man kann schon die Dreiecksungleichung|.+..+...|<|.|+|..|+|...| für die Umschreibung anwenden, aber ich sehe noch nicht ganz, wohin das führt...
Grüße
CE
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civilengineer
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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\quoteon(2018-12-09 15:25 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2018-12-09 15:02 - civilengineer in Beitrag No. 2)
*push*
\quoteoff
Inzwischen hast Du kommentarlos die Voraussetzungen in deinem Startbeitrag korrigiert, indem du $2|x_0|+1$ durch $2(|x_0|+1)$ ersetzt hast.
Warum gehst du jetzt nicht dem Hinweis in meinen Beitrag nach, statt mit einem "*push*" zu antworten?
\quoteoff
$2(|x_0|+1)$ ist richtig gemäß Aufgabenstellung.
Und hier ist die Dreiecksungleichung:
$|xy-x_0y_0| \leq |x-x_0||y-y_0|+|y_0||x-x_0|+|x_0||y-y_0|$
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zippy
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| Beitrag No.6, eingetragen 2018-12-09
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Das $\lambda$ kannst du vergessen, das war nur erforderlich, da ich ja nicht ahnen konnte, in welche der beiden möglichen Richtung du deine Voraussetzungen korrigieren wirst.
Also benutze die Abschätzung $|x-x_0||y-y_0|+|x_0||y-y_0|<|y-y_0|(1+|x_0|)$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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civilengineer
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Ok, bei dieser Abschätzung hast du im Prinzip $|x-x_0|<1$ gemacht. Es kann aber so sein, dass $|x-x_0|>1$ ist, weil $|x-x_0|<\text{min}(1,\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)})$ ist...
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civilengineer
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Die Aufgabe ist:
Wenn $|x-x_0|<\text{min}(1,\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)})$ und $|y-y_0|<\frac{\epsilon}{2(|x_0|+1)}$, dann gilt
$$ |xy-x_0y_0|<\epsilon $$
Mein Lösungsversuch ist:
Es ist: $\text{min}(1,\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}) = \frac{1}{2}\left(1+\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}-\left\vert 1-\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)} \right\vert\right) \leq \frac{1}{2}\left(1+\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}\right) < 1+\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}$
Es gilt: $ |xy-x_0y_0| = |(x-x_0)(y-y_0)+y_0(x-x_0)+x_0(y-y_0)| $.
Mit der Dreiecksungleichung ist: $|xy-x_0y_0| \leq |x-x_0||y-y_0|+|y_0||x-x_0|+|x_0||y-y_0|$
und daher ist: $|xy-x_0y_0| < \left(1+\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}\right)\cdot\frac{\epsilon}{2(|x_0|+1)}+|y_0|\left(1+\frac{\epsilon} {2(|y_0|+1)}\right)+|x_0|\frac{\epsilon}{2(|x_0|+1)}$...
Brauch Denkanstöße..
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civilengineer
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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zippy
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| Beitrag No.10, eingetragen 2018-12-09
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\quoteon(2018-12-09 16:06 - civilengineer in Beitrag No. 8)
Eventuell gehts, wenn man direkt abschätzt
\quoteoff
Nein, so geht es nicht. Ich weiß auch nicht, warum du noch herumexperimentierst. Es ist doch schon alles gesagt:$$|xy-x_0y_0|=|(x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)y_0+x_0(y-y_0)|\le$$$$|x-x_0||y-y_0|+|x-x_0||y_0|+|x_0||y-y_0|\le$$$$|x-x_0||y_0|+(1+|x_0|)|y-y_0|<$$$$\varepsilon\left[\frac{|y_0|}{2(|y_0|+1)}+\frac{1+|x_0|)}{2(|x_0|+1)}\right]<\varepsilon\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right]=\varepsilon$$
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civilengineer
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Sauber! Die Abschätzung in der vorletzten Zeile checke ich nicht. Wieso ist es zulässig, die Abschätzung $|x-x_0|<1$ bzw. $|x-x_0||y-y_0|+|x_0||y-y_0|<|y-y_0|(1+|x_0|)$ zu machen?
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2018-12-09
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\quoteon(2018-12-09 16:43 - civilengineer in Beitrag No. 11)
Wieso ist es zulässig, die Abschätzung $|x-x_0|<1$ zu machen?
\quoteoff
Versuche das mal selbst herauszufinden.
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civilengineer
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Ouch, kein Plan
Oh, Geistesblitz, ich glaube ich checks.
Wenn $1$ das Minimum ist, dann ist $|...|<1$. Wenn das andere $p$ das Minimum ist, dann ist $p<1$ und $|...|
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