Die Mathe-Redaktion - 20.01.2019 20:47 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 3.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 682 Gäste und 22 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Zeigen, dass Menge offen ist
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Zeigen, dass Menge offen ist
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 241
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-16

\(\begingroup\)
Hallo (mal wieder),

hätte da eine Aufgabe, die noch einer fachlichen Absegnung bedarf.

\(\textbf{Aufgabe}\)
\(\text{Zeige, dass }M:=\{f\in C_b(\IR,\IR):\int_{-1}^{1}f(x)dx>4\}\text{ offen ist}\)

\(\textbf{Ansatz}\)

Hab zuerst eine Folge kreiert, deren Glieder alle in M liegen, der Grenzwert jedoch nicht in M liegt. Dann ist mir aufgefallen, dass das komplizierter als nötig ist. Betrachte die Funktion \(f_1(x)=2\). Diese ist stetig und beschränkt und damit gilt \(f_1\in C_b\). Jedoch ist \(\int_{-1}^{1}f_1(x)dx= 4\), also \(f_1\notin M\). Damit liegt \(f_1\) auf dem Rand von M oder ist ein äußerer Punkt. Sei \(U\subset C_b\) eine Umgebung auf der die durch die Norm induzierte Metrik gegeben ist. Dann gilt: \(U\cap M\neq \emptyset, \forall \epsilon > 0 \), denn \(\|f_1-f\|_{\infty}= sup |f_1-f| = sup |2-f| < \epsilon\), aber ebenso gilt: \(U\cap C_b\setminus M\neq \emptyset, \forall \epsilon > 0 \), denn \(sup |f_1-g| < \epsilon, g\in C_b\setminus M\). Demnach ist \(f(x)\) ein Randpunkt, der nicht in M liegt, weshalb M offen sein muss.

Stimm das so, oder bin ich mal wieder am Ziel vorbei?

VG
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Physics bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2011
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-16


Hi,

vielleicht findest du eine stetige Funktion <math>T\colon C_b(\mathbb R,\mathbb R)\to \mathbb
R</math> mit <math>M=T^{-1}((4,\infty))</math>



Wahlurne Für ochen bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 986
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-12-16

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

ich habe deinen Beweis nur überflogen, aber ich denke, du hast nur gezeigt, dass $M$ nicht abgeschlossen ist. Das heißt aber noch nicht, dass $M$ offen sein muss.
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 241
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-16

\(\begingroup\)
Hi ochen und Nuramon,

zu ochen: wenn ich definiere \(T:= \int_{-1}^{1}fdx\) mit \(f\in C_b, f>2\)?

zu Nuramon: Das stimmt wohl, habe nicht daran gedacht, dass eine Menge weder abgeschlossen noch offen sein kann. Wie könnte ich das modifizieren? Wäre es besser hier einfach zu zeigen, dass das Komplement von M abgeschlossen ist?
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Physics bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2011
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-12-16


2018-12-16 16:53 - Physics in Beitrag No. 3 schreibt:
wenn ich definiere <math>T:= \int_{-1}^{1}fdx</math> mit <math>f\in C_b, f>2</math>?

Was bedeutet <math>f>2</math>?



Wahlurne Für ochen bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 241
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-16

\(\begingroup\)
Wir wollen ja als Bildmenge erstmal \((4,\infty)\) erhalten. Ich dachte mir deswegen, dass ich die Einschränkung machen muss: \(f(x)>2\). Sprich f muss größer als die Konstante Funktion 2 sein. Aber das macht wohl keinen Sinn, weil es auch Funktionen gibt, die mitunter für manche x aus dem Definitionsbereich < 2 sind, aber für die trotzdem die Bedingung \(\int_{-1}^{1}f(x)dx > 4\) gilt.
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Physics bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 241
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-17


Danke für die Hilfe, Thema ist erledigt.



Wahlurne Für Physics bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Physics hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Physics wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]