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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Kriterium für F-Quasi-Isomorphie
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Universität/Hochschule Kriterium für F-Quasi-Isomorphie
xiao_shi_tou_
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  Themenstart: 2019-01-03

Hallo Einsiedler des Matheplaneten. Eine sehr allgemeine Frage interessiert mich: Sei \(F\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}\) ein additiver Funktor zwischen Abelschen Kategorien. Ein Morphismus \(A\overset{f}{\to} A'\) heiße \(F\)-quasi-isomorph, falls \(F(A)\overset{F(f)}{\to}F(A')\) ein Isomorphismus ist. Gibt es Literatur zu der allgemeinen Frage wie man untersucht, ob ein Morphismus \(f\) \(F\)-quasi-isomorph ist? Da gibt es doch bestimmt Tricks aus der Homologischen Algebra!? Vielleicht ist die Frage zu allgemein gestellt. Andere Fragen in diesem Kontext interessieren mich auch, zum Beispiel Frage: Sei \(Quasi(F):=\{A\overset{f}{\to} A'\colon f \text{ ist ein } F-\text{ Quasi-Isomorphismus }\}\subseteq hom(\mathcal{A})\). Angenommen \(Quasi(F_1)=Quasi(F_2)\). Was kann man dann ueber die Beziehung zwischen \(F_1\) und \(F_2\) sagen? Es interessieren mich auch konkretere Resultate.


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undertow
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-04

Hallo xiao_shi_tou_, das ist eine sehr interessante, aber zu allgemein gestellte Frage, weswegen du bislang auch wohl keine Antwort bekommen hast. Zur Beantwortung deiner erste Frage möchte ich daher ein wenig konkreter werden: Damit wir Tricks aus der homologischen Algebra anwenden können, nehmen wir zusätzlich zwei Dinge an. 1. Unser Morphismus steckt in einer kurzen exakten Sequenz \[0 \to A' \to A \xrightarrow{f} A'' \to 0.\] Das bedeutet: \(f\) ist ein Epimorphismus und \(A' \cong \ker f\). 2. Der Funktor F ist linksexakt, d.h., er bildet kurze exakte Sequenzen wie oben auf exakte Sequenzen \[0 \to F(A') \to F(A) \to F(A'')\] ab. Unter einer etwas technischen Voraussetzung (die Quellkategorie des Funktors hat genug injektive Objekte) kann man nun die Rechtsableitung des Funktors, geschrieben als \(R^1F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), definieren. Das ist wieder ein additiver Funktor; er ergänzt die exakte Sequenz in der Zielkategorie zu einer langen exakten Sequenz \[0 \to \to F(A') \to F(A) \xrightarrow{F(f)} F(A'') \to R^1F(A') \to R^1F(A) \to R^1F(A'').\] Nun kann man folgendes Kriterium formulieren: Ein Epimorphismus \(f\) ist genau dann ein \(F\)-Quasi-Isomorphismus, wenn 1. \(F(\ker f) \cong 0\) und 2. \(R^1F(\ker f) \cong 0\). Falls der Funktor bereits exakt ist (also kurze exakte Sequenzen auf kurze exakte Sequenzen abbildet), so ist die Rechtsableitung der 0-Funktor und 2. ist trivialerweise erfüllt. Falls dir das nicht zu speziell ist, hilft also jedes Buch, in dem Ableitungen von Funktoren behandelt werden weiter. Zu deiner zweiten Frage möchte ich nur ein paar Stichworte in den Raum werfen, die vielleicht in die richtige Richtung gehen. Ganz generell gibt es viel Literatur über die Anreicherung einer Kategorie um die Auswahl von Morphismen, die schwache Äquivalenzen genannt werden (Homotopieäquivalenzen, einfache Homotopieäquivalenzen und schwache Homotopieäquivalenzen in der Kategorie topologischer Räume zählen dazu, ähnliches gibt es auch in der Kategorie der Kettenkomplexe, wenn du dich nur für algebraische Kategorien interessierst). Stichwörter hierzu wären Modellkategorien oder Waldhausenkategorien (Gute Einstiegsliteratur für ersteres kenne ich leider nicht; für zweiteres ist immer noch Waldhausens ursprünglicher Artikel 'Algebraic K-Theory of spaces' ein must-read). Diese schwachen Äquivalenzen werden dann dazu benutzt, um Invarianten der Kategorie zu definieren (im Fall von Waldhausenkategorien führt das zu K-Theorie, im Fall von Modellkategorien etwa zur Homotopiekategorie, in der die schwachen Äquivalenzen zu Isomorphismen werden). Falls die beiden Funktoren nun also die selben schwachen Äquivalenzen definieren, bedeutet das, dass die induzierte Homotopietheorie (für Modellkategorien) bzw. die unterliegende K-Theorie (für Waldhausenkategorien) die gleiche ist. Ich glaube aber nicht, dass man hieraus etwa eine explizite natürliche Transformation von Funktoren definieren kann. EDIT: Vielleicht ist noch folgendes hilfreich. Bezeichne die Menge der Quasi-Isomorphismen der beiden Funktoren mit W. Dann gibt es eine Kategorie \(\mathcal{A}[W^{-1}]\) und einen Funktor \(L\colon \mathcal{A} \to \mathcal{A}[W^{-1}]\), die Lokalisierung, mit folgender universeller Eigenschaft: Jeder weitere Funktor, der Morphismen in W auf Isomorphismen schickt, faktorisiert eindeutig über die Lokalisierung. Die Quellkategorie der Funktoren lässt sich also durch die Lokalisierung ersetzen; bei dieser Ersetzung verarbeiten wir die Information, dass die beiden Funktoren die gleichen Quasi-Isomorphismen definieren. Ich glaube also nicht, dass über den Zusammenhang zwischen Funktoren mit gleichen Quasi-Isomorphismen viel gesagt werden kann.


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-09

Hi. (EDIT: Hallo undertow! Tut mir Leid, dass ich nur "Hi" geschrieben hatte und so lange nicht geantwortet. Das sollte nicht heißen, dass ich die Antwort nicht wertschätze. Ich bin nur zur Zeit etwas unter Zeitdruck und hetze mich deshalb etwas. ;). Vielen Dank nochmal für die Mühe!!) Die Technik, dass man mit abgeleiteten Funktoren eine lange Exakte Sequenz bekommt und dann einen Isomorphismus bekommt falls ein Objekt azyklisch ist kannte ich schon aus der Alggeom und der Gruppenkohomologie usw. Dieser Trick klappt insbesondere dann gut, wenn man eine Charakterisierung fuer das Verschwinden hat, wie zum Beispiel den Satz von Mittag-Leffler fuer die abgeleiteten Limiten. Vielleicht haette ich erwaehnen sollen, dass ich das schon wusste. Tut mir leid. Die zweite Frage habe ich nur als ein Beispiel fuer die Art von Fragen gestellt die mich interessieren. Dass die beiden Model-Kategorien uebereinstimmen glaube ich nicht, da man ja auch noch Faserungen waehlen muss, und es gibt Model-Strukturen mit gleichen Homotopie-Aequivalenzen welche dennoch verschieden sind. Nimmt man aber die gleichen Faserungen (Kofaserungen), dann sind die Model-Strukturen natuerlich identisch. Ich werde nochmal ausfuehrlich recherchieren und ein paar eigene Fragestellungen angehen. Vielleicht melde ich mich irgendwann zu dem Thema nochmal, wenn ich Zeit habe daran zu basteln. Vielen Dank fuer die Antwort. Das paper ueber Waldhausen-Kategorien habe ich noch nicht gelesen. Danke fuer den Hinweis! Liebe Gruesse.


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xiao_shi_tou_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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