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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Gödel & Kontinuum
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Universität/Hochschule J Gödel & Kontinuum
mhipp
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  Themenstart: 2019-01-04

Hi, 1) Eine Frage zu Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz: Sagt er aus, dass es Aussagen gibt, die weder wahr oder falsch sind oder, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, aber man es nicht immer beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist? 2) Die Kontinuumshypothese ist bewiesenermaßen eine unentascheidbare Aussage. Wenn man eine Menge M finden würde, sodass |IN| < |M| < |IR|, so wäre die Hypothese widerlegt. Da man sie aber weder widerlegen noch beweisen kann, was bewiesen wurde, kann es eine solche Menge nicht geben, sonst wäre die Hypothese ja widerlegt und das geht ja nicht. Wenn es aber eine solche Menge nicht gibt, dann ist die Hypothese bewiesen, was ja aber eigentlich auch nicht geht. Ist das nicht alles ein riesiger Widerspruch? Lg


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Erratis
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-04

Hey, ich bin kein Experte auf dem Gebiet, aber ich habe den Unvollständigkeitssatz so verstanden, dass einige Aussagen nicht bewiesen oder widerlegt werden können. Das bedeutet in meinen Augen, dass man diese Aussagen weder als wahr noch als falsch ansehen kann, sondern einfach als nicht bewertbar. Also könnte man sagen, dass diese Aussagen "weder wahr noch falsch" sind. Zum 2.: In dem Moment wo du annimmst, dass es eine solche Menge nicht geben kann, da dann die Hypothese widerlegt wäre, ignorierst du die Tatsache, dass die Aussage nicht beweisbar ist. Du benutzt die Implikation aus "Die Aussage ist nicht widerlegbar" zu "es kann kein Element geben, das die Aussage beweist". Das ist äquivalent zu "es kann ein Element geben, das die Aussage beweist" zu "die Aussage ist widerlegbar". Dass es ein Element geben kann, das die Aussage beweist kann aber nicht sein, da die Aussage dann nicht unbewertbar wäre. Das heisst du folgerst die Tatsache, dass die Aussage widerlegbar ist aus einer falschen Annahme und aus einer solchen kannst du alles folgern. Das ist meine Sichtweise, aber ich weise noch einmal darauf hin, dass dies alles Unfug sein könnte.


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mhipp
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Ok, danke schonmal, aber nochmal einige Nachfragen: 1) Ich verstehe nicht, wie eine ,,ja-nein"-Frage nicht mit,,ja" oder ,,nein" beantwortet werden kann: Gibt es eine Unendlichkeit zwischen der, der natürlichen und der, der reellen Zahlen? Da gibt es doch nur die Antwortmöglichkeiten ja und nein. Wie kann die Antwort weder ja noch nein sein? Das ist doch sinnlos... Also nochmal die Frage: Ist die Antwort weder ja noch nein, oder ist sie eines davon und man kann es lediglich nicht beweisen? 2) Nach wie vor folgende Frage: Es ist bewiesen, dass man die CH weder beweisen noch widerlegen kann. Aber indem man beweist, dass eine Aussage nicht widerlegt werden kann, ist sie doch eigentlich bewiesen, oder nicht? Das ist doch ein Widerspruch in sich.


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Erratis
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-04

Ich glaube ich verstehe dich nicht ganz. Du sagst, dass die Antwort ja oder nein sein muss und fragst dann ob die Antwort ja oder nein oder was anderes ist? Oder verstehst du lediglich nicht, dass die Antwort nicht ja oder nein sein muss? Zu dem ich weiss nicht warum eine ja nein Frage nicht mit Ja oder Nein beantwortet werden kann: Es ist schlichtweg das fehlende Wissen über die Korrektheit der Aussage und die Unmöglichkeit das Wissen zu erlangen. Ich kann dich Sachen fragen wie "Ist mein Schuhregal blau?" Und du könntest es nicht beantworten, da du nie in meiner Wohnung warst. Und wenn ich dich nie reinlasse, wirst du es auch nie beantworten können. Also ist die Aussage "Mein Schuhregal ist blau" für dich weder wahr noch falsch. Die Idee hinter den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen ist es, dass es solche Fragen zu Aussagen zB in der Mathematik gibt. Das klärt auch 2., denn nicht widerlegbar impliziert durch diese Möglichkeit dass es auch keine Antwort geben kann und nicht, dass die Aussage wahr ist. Du hast das Ja/Nein Klappendenken und das funktioniert wegen der Sätze gerade nicht.


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mhipp
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Das ist ja meine Frage: Also diese Aussagen sind entweder wahr oder falsch, man wird es halt nie beweisen können, oder?


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Erratis
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-04

Ja genau.


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mhipp
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Ah, ok. Und wie kann man beweisen, dass man eine Aussage weder beweisen noch widerlegen kann? Wie sieht so ein Beweis aus?


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-04

\quoteon(2019-01-04 15:06 - mhipp in Beitrag No. 4) Das ist ja meine Frage: Also diese Aussagen sind entweder wahr oder falsch, man wird es halt nie beweisen können, oder? \quoteoff Das mit dem Schuregal ist kein gutes Beispiel, denn es ist rausfindbar für irgendwen. Es ist auch verifizierbar, ob es Leben auf dem Titan gibt, aber wir können es halt noch nicht. Es gibt aber Behauptungen in jedem System, die gar nicht beweisbar sind nicht, weil es noch nicht gelang, sonder "im Prinzip" ist es zwecklos daran weiterzu forschen. Ich weiss eben kein konkretes beispiel, es gibt aber m.W. eins über Potemnzmengen in der Mengenlehre.


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BerndLiefert
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-04

Hallo mhipp, mit "unentscheidbar" ist gemeint, dass man keine Antwort geben kann die in allen Modellen stimmt. Wenn man "nur" ZFC voraussetzt gibt es sowohl Modelle in denen die Kontinuumshypothese stimmt (ein Beispiel dafür ist L) als auch solche in denen sie falsch ist.


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mhipp
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Ok, also jede klar definierte Aussage, die nicht von sich selbst handelt, ist entweder wahr oder falsch, aber es ist nicht immer möglich, festzustellen, welche die Möglichkeiten zutrifft, richtig?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-04

Hallo zusammen, hier gibt es anscheinend ein paar Missverständnisse. Zu Gödel: Der Gödelsche Satz besagt, dass man nicht jede wahre Aussage beweisen kann, egal, welche Axiome man verwendet. (Solange die Axiome keinen Widerspruch ermöglichen.) Nehmen wir mal das Beispiel der Goldbachschen Vermutung. Es könnte sein, dass es eine gerade Zahl (größer 2) gibt, die nicht Summe von zwei Primzahlen ist. Wenn es solch eine Zahl nicht gibt, dann stimmt die Goldbachsche Vermutung. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Der Fall, dass die Goldbachsche Vermutung falsch ist, ist hier vergleichsweise harmlos. Man bräuchte theoretisch nur eine gerade Zahl nach der anderen zu probieren und findet irgendwann ein Gegenbeispiel. (Wie gesagt theoretisch, denn das Gegenbeispiel könnte so gigantisch groß sein, dass es niemals gefunden wird.) Wenn die Goldbachsche Vermutung aber richtig ist, könnte sie ein Beispiel für solch einen Satz sein, der nicht beweisbar ist. Wohlgemerkt: könnte! Es ist aber nicht so, dass dann die Goldbachsche Vermutung irgendwie in einer Sphäre der Möglichkeiten zwischen richtig und falsch schweben würde, ähnlich wie Schrödingers Katze. Zur Kontinuumshypothese: Hier ist die Situation anders. Man kann eine Mengenlehre mit oder ohne CH betreiben. Wenn die eine widerspruchsfrei ist, dann auch die andere - und umgekehrt. (Vgl. #8.) Nun könnte man auf die Idee kommen, in der Mengenlehre ohne CH eine Menge M herzunehmen, die mehr als \(\IN\) und weniger als \(\IR\) Elemente enthält, und diese dann in der Mengenlehre mit CH zu betrachten. Dort gibt es plötzlich eine Bijektion f zwischen M und \(\IN\) oder \(\IR\). Jetzt muss ich selbst ein wenig spekulieren :-o In der Mengenlehre ohne CH wäre f keine Funktion bzw. die Menge M ließe sich in der Mengenlehre mit CH nicht definieren.


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mhipp
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Ok, das hat schonmal sehr geholfen. Aber nochmal die Frage: Wenn ich beweise, dass Die Goldb. V. weder widerlegt, noch bewiesen werden kann, ist sie dann nicht automatisch bewiesen? Wenn man sie nicht beweisen kann, muss sie ja nicht falsch sein, aber wenn man sie nicht widerlegen kann (kein Gegebbeispiel), dann muss sie wahr sein, oder nicht?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-04

Ja, wenn du beweisen kannst, dass man sie nicht widerlegen kann, hast du sie bewiesen. Dann wäre die Goldbachsceh Vermutung aber kein beispiel für eine wahre Aussage, die man nicht beweisen kann.


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mhipp
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Aber wenn die GV eine solche nichtbeweisbate wahre Aussage ist, dann wird man das doch nie wissen, oder? Sonst hätte man ja bewiesen, dass sie wahr ist und nicht bewiesen werden kann, was aber keinen Sinn macht, oder?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-04

Stimmt. Das würde man dann nie wissen. Traurig, aber wohl wahr :-(


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mhipp
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Das könnte ja dann zB bei RH auch so sein. Irgendwie komisch, 159 Jahre an was zu forschen, ohne zu wissen, ob es eine Lösung gibt... Nochmal zu CH: Wie ist da der aktuelle Stand? Konnte man sie bisher nicht beweisen oder wurde es bewiesen, dass Sie nicht widerlegbar ist oder was ist da aktuell los?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.16, eingetragen 2019-01-04

Ja, aber manchmal klappt sowas dann doch ... siehe großer Satz von Fermat. Zu CH: Siehe #8 und #10. CH ist unabhängig von ZFC, also weder beweisbar noch widerlegbar.


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mhipp
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Aber wenn sie nicht widerlegbar ist, muss sie doch wahr sein oder?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.18, eingetragen 2019-01-04

Das ist wie mit dem Parallelenaxiom in der Geometrie. Das ist mithilfe der anderen Axiome auch nicht beweisbar oder widerlegbar. Und siehe da: Es gibt eine euklidische Geometrie (wo es gilt), und es gibt nicht-euklidische Geometrien (wo es nicht gilt).


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mhipp
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Also ist die CH praktisch wie ein Axiom, das entscheidet, wie eine bestimmte math. Struktur aussieht, oder?


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BerndLiefert
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  Beitrag No.20, eingetragen 2019-01-04

Jein. Du kannst(!) es als Axiom zu ZFC hinzunehmen. Du kannst auch das Axiom hinzunehmen, dass CH nicht stimmt. Je nachdem wofür du dich entscheidest hast du unterschiedliche Strukturen (= unterschiedliche Modelle von ZFC). A priori ist CH "nur" eine von ZFC unabhängige Aussage.


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mhipp
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04

Ok danke!


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Zwerg_Allwissend
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  Beitrag No.22, eingetragen 2019-01-04

\quoteon(2019-01-04 20:09 - mhipp in Beitrag No. 13) Aber wenn die GV eine solche nichtbeweisbate wahre Aussage ist, dann wird man das doch nie wissen, oder? Sonst hätte man ja bewiesen, dass sie wahr ist und nicht bewiesen werden kann, was aber keinen Sinn macht, oder? \quoteoff Hier geht wohl einiges durcheinander. Der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt sinngemäß, daß für jeden korrekten Beweiskalkül K (1. Stufe) eine wahre arithmetische Aussage A(K) existiert, die nicht in K herleitbar ist. Es geht also um die (nicht-)Herleitung in solchen Kalkülen. Zum Beweis dieses Satzes muß insbesondere gezeigt werden, daß A(K) wahr ist (denn andernfalls wäre A(K) falsch und somit trivialerweise nicht in K herleitbar, da "K ist korrekt" vorausgesetzt wird). "A(K) ist wahr" kann bewiesen werden, indem man zeigt, daß ein Modell der Arithmetik A(K) erfüllt. Mit dem 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz ist somit eine prinzipielle Schwäche solcher Kalküle gezeigt. Die Goldbachvermutung GV ist hier kein gutes Beispiel, da gegenwärtig nicht bekannt ist, ob diese wahr oder falsch ist. Folgende Fälle sind möglich: (1) GV ist in K herleitbar (und GV somit wahr) (2) ~GV ist in K herleitbar (und GV somit falsch) (3) GV ist eine Gödelformel (so wie A(K) oben), d.h. GV ist wahr aber nicht in K herleitbar (4) ~GV ist eine Gödelformel, d.h. GV ist falsch aber ~GV nicht in K herleitbar.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.23, eingetragen 2019-01-04

\quoteon(2019-01-04 23:11 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 22) Die Goldbachvermutung GV ist hier kein gutes Beispiel, da gegenwärtig nicht bekannt ist, ob diese wahr oder falsch ist. \quoteoff Hallo Zwerg_Allwissend, das weiß ich wohl auch. Deswegen schrieb ich: "Wenn die Goldbachsche Vermutung aber richtig ist, könnte sie ein Beispiel für solch einen Satz sein, der nicht beweisbar ist. Wohlgemerkt: könnte!" Beachte bitte das letzte Wort - Konjunktiv! Ich hatte dieses Beispiel gewählt, um die Problematik ein wenig anschaulicher zu gestalten.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.24, eingetragen 2019-01-05

\quoteon(2019-01-04 23:11 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 22) Hier geht wohl einiges durcheinander. Der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt sinngemäß, daß für jeden korrekten Beweiskalkül K (1. Stufe) eine wahre arithmetische Aussage A(K) existiert, die nicht in K herleitbar ist. Es geht also um die (nicht-)Herleitung in solchen Kalkülen. Zum Beweis dieses Satzes muß insbesondere gezeigt werden, daß A(K) wahr ist (denn andernfalls wäre A(K) falsch und somit trivialerweise nicht in K herleitbar, da "K ist korrekt" vorausgesetzt wird). "A(K) ist wahr" kann bewiesen werden, indem man zeigt, daß ein Modell der Arithmetik A(K) erfüllt. Mit dem 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz ist somit eine prinzipielle Schwäche solcher Kalküle gezeigt. Die Goldbachvermutung GV ist hier kein gutes Beispiel, da gegenwärtig nicht bekannt ist, ob diese wahr oder falsch ist. Folgende Fälle sind möglich: (1) GV ist in K herleitbar (und GV somit wahr) (2) ~GV ist in K herleitbar (und GV somit falsch) (3) GV ist eine Gödelformel (so wie A(K) oben), d.h. GV ist wahr aber nicht in K herleitbar (4) ~GV ist eine Gödelformel, d.h. GV ist falsch aber ~GV nicht in K herleitbar. \quoteoff Bei deinem Post stimmen glaube ich ein paar Dinge nicht. Die Option, dass die Goldbachvermutung falsch ist und dies nicht durch ZFC bewiesen werden kann, gibt es gerade nicht. Sonst gäbe eine Zahl, die die Goldbachvermutung verletzt und durch sie könnte die Goldbachvermutung durch Probieren widerlegt werden. Also formal Goldbachvermutung falsch => \(\exists z\) das die Goldbachvermutung verletzt => es gibt einen Formalen Beweis, dass die Goldbachvermutung falsch ist (alle Primzahlen < z durchtesten) <=> Goldbachvermutung formal widerlegbar. Wenn bekannt wäre, ob die Goldbachvermutung wahr oder falsch wäre, wäre sie doch bewiesen oder widerlegt, woher sonst wollte man wissen, ob sie wahr oder falsch ist? Der Argumentation zufolge müsste ja auch die CH bewiesen oder widerlegt werden, um den Gödelsatz auf sie anwenden zu können. Aber die CH kann ja eben nicht bewiesen oder widerlegt werden. Im Eingangspost hieß es: "Da man sie aber weder widerlegen noch beweisen kann, was bewiesen wurde, kann es eine solche Menge nicht geben, sonst wäre die Hypothese ja widerlegt und das geht ja nicht." Du musst unterscheiden zwschen nicht-existent und nicht-konstruierbar. Die Menge M ist nicht konstruierbar, aber ihre Existenz kann als Axiom vorausgesetzt werden. Ein verwandtes Beispiel ist die nicht Existenz von reellen Zahlen, die nicht konstruiert werden können. Die Existenz so einer Zahl kann natürlich nicht durch einen Konstruktionsbeweis bewiesen werden, sondern nur indirekt per Mächtigkeitsargument (Menge der Konstruierbaren Zahlen ist abzählbar, die reellen Zahlen sind überabzählbar). Darüber im Eingangspost hieß es: "Eine Frage zu Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz: Sagt er aus, dass es Aussagen gibt, die weder wahr oder falsch sind oder, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, aber man es nicht immer beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist?" Es gibt Aussagen, die (wie schon geschrieben wurde) nicht durch die Axiome des Aussagensystems oder was auch immer hergeleitet werden können, aber die Widerspruchsfreiheit besagt, dass eine Aussage (wie CH) wahr oder falsch sein muss. Formal lautet die Widerspruchsfreiheit ja \(A \lor (\neg A)\)). D. h. wenn es eigenartig erscheint, dass Aussagen wahr aber nicht beweisbar sind, dann vor allem deshalb, weil als "wahr" bezeichnet werden, was aber durch die Widerspruchsfreiheit postuliert wird, und nicht durch eine "tiefere Wahrheit", die über das Axiomensystem hinausgeht, denn diese gibt es bei den formalen System schlichtweg nicht.


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mhipp
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-05

Also kurz und knapp: Wenn eine Aussage wahr aber nicht beweisbar ist, werden wir das nie erfahren. Wenn sie falsch ist aber nicht widerlegbar, was genau ist dann?


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Zwerg_Allwissend
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  Beitrag No.26, eingetragen 2019-01-05

\quoteon(2019-01-05 09:40 - mhipp in Beitrag No. 25) Wenn eine Aussage wahr aber nicht beweisbar ist, werden wir das nie erfahren. \quoteoff Oder anders gesagt: Solange eine Aussage nicht bewiesen oder widerlegt ist, weiß man nicht, ob sie wahr oder falsch ist. Das ist aber offensichtlich und keine überraschende Erkenntnis. Beim 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz geht es nicht darum, ob eine Aussage irgendwie beweisbar ist oder nicht, sondern darum, ob eine Aussage >> innerhalb der Peano Arithmetik << beweisbar ist. Gödel hat ja bewiesen, daß seine Gödelformel wahr ist. Es geht hier also um die Grenzen der Peano Arithmetik. Ein Beispiel für solche Formeln ist der Satz von Goodstein https://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge#Unabhängigkeit_von_der_Peano-Arithmetik . Dieser Satz wurde bewiesen und obendrein wurde gezeigt, daß er nicht innerhalb der Peano-Arithmetik beweisbar ist. D.h. die Peano-Arithmetik ist als Beweiswerkzeug zu schwach, um den Satz von Goodstein zu beweisen. Mit stärkeren Beweiswerkzeugen gelingt das dann. \quoteon(2019-01-05 09:40 - mhipp in Beitrag No. 25) Wenn sie falsch ist aber nicht widerlegbar, was genau ist dann? \quoteoff Wenn eine Aussage falsch aber nicht widerlegbar ist, dann ist ihr Negat wahr und nicht beweisbar. \quoteon(2019-01-05 02:44 - Pearly in Beitrag No. 24) Bei deinem Post stimmen glaube ich ein paar Dinge nicht. Die Option, dass die Goldbachvermutung falsch ist und dies nicht durch ZFC bewiesen werden kann, gibt es gerade nicht. Sonst gäbe eine Zahl, die die Goldbachvermutung verletzt und durch sie könnte die Goldbachvermutung durch Probieren widerlegt werden. Also formal Goldbachvermutung falsch => \(\exists z\) das die Goldbachvermutung verletzt => es gibt einen Formalen Beweis, dass die Goldbachvermutung falsch ist (alle Primzahlen < z durchtesten) <=> Goldbachvermutung formal widerlegbar. \quoteoff Das ist richtig. Die Option (4) in meiner Liste ist nicht möglich. \quoteon(2019-01-05 02:44 - Pearly in Beitrag No. 24) Der Argumentation zufolge müsste ja auch die CH bewiesen oder widerlegt werden, um den Gödelsatz auf sie anwenden zu können. Aber die CH kann ja eben nicht bewiesen oder widerlegt werden. \quoteoff Bei der Kontinuumshypothese CH geht es darum, ob eine Axiomatisierung hinreichend für die Gültigkeit einer Aussage ist. Das hat nichts mit dem 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz zu tun. \quoteon(2019-01-05 02:44 - Pearly in Beitrag No. 24) D. h. wenn es eigenartig erscheint, dass Aussagen wahr aber nicht beweisbar sind, dann vor allem deshalb, weil als "wahr" bezeichnet werden, was aber durch die Widerspruchsfreiheit postuliert wird, und nicht durch eine "tiefere Wahrheit", die über das Axiomensystem hinausgeht, denn diese gibt es bei den formalen System schlichtweg nicht. \quoteoff Von einer math. Aussage zu behaupten, sie sei wahr aber nicht beweisbar ist ja ein Widerspruch in sich und hat zu der Verwirrung in diesem Thread geführt. Es muß >nicht mit XYZ beweisbar< heißen, wobei XYZ irgendein Beweiswerkzeug, Kalkül, math. Methode etc. ist. Man kann i.A. eine Aussage nicht als wahr bezeichnen, wenn sie als Axiom hinzugenommen nicht zu einem Widerspruch führt (das geht nur in Sonderfällen => Proof by consistency).


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