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Mathematik » Stochastik und Statistik » Abweichung vom Mittelwert/ Markov Ungleichung
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Universität/Hochschule Abweichung vom Mittelwert/ Markov Ungleichung
k3st
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-11 14:16

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

Ich stehe vor folgendem Problem:

Seien $X_i$ Ber(p) verteilt zum Parameter $p \in (0,1)$. Zeige, dass für jedes $x \in (p,1)$ gilt

$P(1/n S_n \geq x) \leq e^{-nh(x;p)},$

mit $h(x;p)=x \log(x/p) +(1-x)\log((1-x)/(1-p))$.

Ich habe bereits gezeigt, dass für jedes $t > 0$

$P(1/n S_n \geq x) \leq e^{-n(\phi(t)-tx)}$

mit $\phi(t)=\log(E(e^{tX_1}))$ gilt.

Muss ich ein geeignetes $t$ wählen, oder wie gehe ich nun vor?

VG
k3st
\(\endgroup\)


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Conny42
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12 03:55

\(\begingroup\)
Huhu k3st,

2019-01-11 14:16 - k3st im Themenstart schreibt:

Ich habe bereits gezeigt, dass für jedes $t > 0$

$P(1/n S_n \geq x) \leq e^{-n(\phi(t)-tx)}$

mit $\phi(t)=\log(E(e^{tX_1}))$ gilt.


ich glaube, du hast hier einen Vorzeichenfehler und es müsste

$P(S_n/n \geq x) \leq e^{-n(tx-\phi(t))}$

heißen. Wenn du gezeigt hast, dass diese Abschätzung für alle $t >0$ gilt, dann bekommst du die beste Abschätzung, wenn du $t > 0$ so wählst, dass die obere Schranke $e^{-n(tx-\phi(t))}$ minimal wird.

Liebe Grüße,
Conny
\(\endgroup\)


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k3st
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 15:09

\(\begingroup\)
Danke für den Ansatz!

Ich habe $t=\log(x(1-p)/p(1-x))$ als Ergebnis raus. Stimmt das?

Viele Grüße
k3st
\(\endgroup\)


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Conny42
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-13 15:27

\(\begingroup\)
Ja, das habe ich auch als Ergebnis rausbekommen  smile
Jetzt musst du das nur noch in die rechte Seite von

$P(S_n/n \geq x) \leq e^{-n(tx-\phi(t))}$

einsetzen.

LG,
Conny
\(\endgroup\)


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