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Universität/Hochschule Würfelwurf
SaskiaQuelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-11


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12


Hallo SaskiaQuelle,

2019-01-11 22:08 - SaskiaQuelle im Themenstart schreibt:
Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert für das Ereignis zum ersten Mal sowohl eine 6 als auch eine 5 würfeln an.

Wie ist das gemeint? ich kann ja nicht mit einem würfel beide zahlen zum ersten Mal würfeln?

Nein, das geht mit Sicherheit nicht, jedenfalls nicht gleichzeitig. Hast du den Wortlaut der Aufgabenstellung hier exakt wiedergegeben? ... was mich bei der etwas eigenwilligen Grammatik etwas wundern würde  wink



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SaskiaQuelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


Danke erstmal für deine Antwort.

Ja also, ich habe einige Altklausuren vom FSR bekommen.
Und da war diese Klausur mit dabei.

Die ist handschriftlich geschrieben, es kann natürlich sein, dass dort Fehler vorhanden sind.

Könntest du mir zu a) und b) was sagen?




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 00:30 - SaskiaQuelle in Beitrag No. 2 schreibt:
Könntest du mir zu a) und b) was sagen?

Vermutlich schon. Was wäre denn für die Verteilung und was für den Erwartungswert zu bestimmen?



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SaskiaQuelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


ich soll ja für a und b den Erwartungswert bestimmen und die Verteilung angeben.

bei a) habe ich ja den Erwartungswert.

und verteilungsfunktion wäre ja die Geometrische verteilung.

oder ist das schon falsch?

bei b) weiß ich halt die verteilung nicht bzw. ob ich das überhaupt richtig gerechnet habe.



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Tetris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-12


Zu c): "Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert für das Ereignis zum ersten Mal sowohl eine 6 als auch eine 5 würfeln an."

Eine mögliche und mir sinnvoll erscheinende Interpretation smile ist diese:
Es wird solange gewürfelt, bis mindestens eine 6 und mindestens eine 5 gefallen sind. X zählt dann die Anzahl der dazu benötigten Würfe.

Lg, T.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 07:14 - Tetris in Beitrag No. 5 schreibt:
Eine mögliche und mir sinnvoll erscheinende Interpretation smile ist diese:
Es wird solange gewürfelt, bis mindestens eine 6 und mindestens eine 5 gefallen sind. X zählt dann die Anzahl der dazu benötigten Würfe.

Ja, natürlich! Das ist das einzige, was hier Sinn ergibt.



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SaskiaQuelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


Vielen Dank, c) könnte wirklich so sein.

Bevor ich an c) arbeite, könnte mir jemand a) und b) bestätigen oder widerlegen?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 15:41 - SaskiaQuelle in Beitrag No. 7 schreibt:
Bevor ich an c) arbeite, könnte mir jemand a) und b) bestätigen oder widerlegen?

Versuch doch mal, die Fragen aus #3 zu beantworten. Bei b gibst du bspw. für den Erwartungswert einen Term an, der ein n enthält. Was soll denn hier n sein?



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SaskiaQuelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Okay, also fange ich nochmal an.

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hoffe, dass das jetzt stimmt.

Wie komme ich auf die Verteilung.

Also mein f(x) ist ja die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Verteilung oder?

LG



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-13


Der Erwartungswert ist korrekt. (Da fehlt noch ein Summenzeichen in der Zeile "E(X) = ...".)

Die Begriffe "Wahrscheinlichkeitsfunktion" und "Verteilung" kannst du m. E. synonym gebrauchen. Oder habt ihr den Begriff "Verteilung" anders definiert?



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SaskiaQuelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-13


2019-01-13 12:44 - SaskiaQuelle in Beitrag No. 11 schreibt:
zum ersten mal eine 6 hatten wir ja bei a) können wir damit arbeiten oder mit b) oder muss man ganz anders denken?

Ich würde erst warten, bis eine 5 oder 6 fällt. (Siehe b.) Wenn dann eine 5 gefallen ist, kannst du mit a weitermachen. Falls eine 6 gefallen ist, kannst du ebenfalls mit a weitermachen - du musst in a nur "6" durch "5" ersetzen.

Was folgt für den Erwartungswert?

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion muss ich selbst noch nachdenken.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-01-13


Huhu Saskia.

a) und b) sind aber geometrisch verteilt. Der Erwartungswert berechnet sich also einfach als \(\frac{1}{p}\), was natürlich wunderbar zu deinen Ergebnissen passt.

Bei c) könnte man folgendes machen:

Nach dem ersten Wurf kann man 4 Zustände unterscheiden, welche man nicht mehr verlässt. Dieses schimpft sich absorbing Markov chain (deutsch: absorbierende Markovkette). Diese 4 Zustände sind:

\(\displaystyle \emptyset: \quad \text{noch keine 5 oder 6 gewürfelt}\)

\(\displaystyle 5: \quad \text{5 gewürfelt, 6 noch nicht}\)

\(\displaystyle 6: \quad \text{6 gewürfelt, 5 noch nicht}\)

\(\displaystyle \star: \quad \text{5 und 6 gewürfelt. Jubel!!}\)

Die Wahrscheinlichkeiten zwischen 2 Situation lassen sich leicht berechnen:

\(\displaystyle \begin{array}{l|cccc}
\nearrow&\emptyset&5&6&*\\
\hline
\emptyset&\frac{2}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&0\\
5&0&\frac{5}{6}&0&\frac{1}{6}\\
6&0&0&\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\\
*&0&0&0&1\\
\end{array} \)

Wir erhalten somit die Übergangsmatrix:

\(\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}
\frac{2}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&0\\
0&\frac{5}{6}&0&\frac{1}{6}\\
0&0&\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\\
0&0&0&1\\
\end{array}}\right)\)

Entscheidend ist nun die obere \(3 \times 3\) Matrix \(Q\) oben links in der Ecke:

\(\displaystyle Q=\left({\begin{array}{ccc}
\frac{2}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\
0&\frac{5}{6}&0\\
0&0&\frac{5}{6}\\
\end{array}}\right)\)

Die Fundamentalmatrix der Kette berechnet sich nun als \(N=(I-Q)^{-1}\):

\(\displaystyle N=\left[\left({\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{ccc}
\frac{2}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\
0&\frac{5}{6}&0\\
0&0&\frac{5}{6}\\
\end{array}}\right)\right]^{-1}=\left[\left({\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\
0&\frac{1}{6}&0\\
0&0&\frac{1}{6}\\
\end{array}}\right)\right]^{-1}=\left({\begin{array}{ccc}
3&3&3\\
0&6&0\\
0&0&6\\
\end{array}}\right) \)

Für den Erwartungswert berechnen wir nun nur noch \(\textbf{t}=N\textbf{1}\)

\(\displaystyle\textbf{t}= \left({\begin{array}{ccc}
3&3&3\\
0&6&0\\
0&0&6\\
\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}
1\\
1\\
1\\
\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}
9\\
6\\
6\\
\end{array}}\right) \)

Der Erwartungswert ist also 9. Zufall?

Gruß (und einen schönen Sonntag wünscht),

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-13


Na gut, wenigstens kommen Küstenkind und ich auf dasselbe Ergebnis smile

Zur Verteilung von c:

Es sei X die Wartezeit bis zur ersten 5 oder 6 und Y die Wartezeit bis zur ersten 6 (oder bis zur ersten 5). Wenn Z die Wartezeit ist, bis zum ersten Mal sowohl 5 als auch 6 gefallen sind, dann gilt Z = X+Y.

Damit ist E(Z) = E(X+Y).

Für die Verteilung gilt:
\(P(Z = k)=\sum_{\ell=1}^{k-1}P(X=\ell)\cdot P(Y=k-\ell)\)

Dies lässt sich noch weiter ausrechnen.



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Kuestenkind
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2019-01-13 15:02 - StrgAltEntf in Beitrag No. 14 schreibt:
Na gut, wenigstens kommen Küstenkind und ich auf dasselbe Ergebnis smile

Ja, mein Beitrag sollte auch nur dazu anregen, über das Ergebnis nachzudenken.  smile
Schön, dass wir uns einig sind!

Viele Grüße,

Küstenkind



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