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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionen durch ihr Bild bestimmen im Komplexen
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Universität/Hochschule Funktionen durch ihr Bild bestimmen im Komplexen
Sabrina94
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  Themenstart: 2019-01-12

Hallo Leute, für mein Übungsblatt habe ich folgende Aufgabe: Für eine Funktion\( f: D \rightarrow \mathbb{C}\) setzen wir wie gewohnt Bild(f)={\({f(z) \vert z \in D}\)}. Untersuchen sie, ob es eine ganze Funktion \(f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\) gibt mit: a) Bild(f) = \(B_1(0)\) (= Kreisscheibe um 0 mit Radius 1 ) b) Bild(f) = {\(z \in \mathbb{C} \vert Re(z), Im(z) \in \mathbb{Q}\)} c) Bild(f) = \(\mathbb{C}\setminus\){0} Zu der a habe ich mir schon Gedanken gemacht und bin darauf gekommen, dass ich eine Funktion suche, welche das Bild {\(z \in \mathbb{C}\vert \vert z\vert > 1\)} hat. Aber eine solche Funktion gibt es nicht oder? Könntet ihr mir bitte bei der Aufgabe weiterhelfen? Ich danke euch schonmal für eure Antworten


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Bai
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12

Hi, Tipp: a) Satz von Liouville b) Satz von Picard c) Exponentialfunktion


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Sabrina94
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12

Hallo Bai, a) der Satz von Liouville besagt ja, dass jede ganze beschränkte Funktion in \(\mathbb{C}\) konstant ist. Das Bild ist ja beschränkt. Aber inwiefern hilft mir das hier weiter? b) Leider sagt der Satz von Picard mir nichts... im INternet habe ich den kleinen und den großen gefunden, welchen meinst du jetzt und inwiefern hilft der mir? c) Leider verstehe ich diesen Tipp nicht... zwar erreicht exp(x) die null nicht jedoch wird sie auch nicht negativ... ich habe auch schon einige Versionen versucht, jedoch komme ich nicht drauf Gruß


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Bai
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-12

\quoteon(2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2) a) der Satz von Liouville besagt ja, dass jede ganze beschränkte Funktion in \(\mathbb{C}\) konstant ist. Das Bild ist ja beschränkt. Aber inwiefern hilft mir das hier weiter? \quoteoff Das findest du mit ein wenig Grübeln bestimmt selbst heraus. \quoteon(2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2) b) Leider sagt der Satz von Picard mir nichts... im INternet habe ich den kleinen und den großen gefunden, welchen meinst du jetzt und inwiefern hilft der mir? \quoteoff Wenn du den Satz nicht kennst, habt ihr ihn in der Vorlesung wahrscheinlich nicht behandelt. Problematisch ist das aber nicht, denn es gibt hier viele Möglichkeiten, so eine Funktion auszuschließen. Welche Sätze kennst du denn stattdessen? \quoteon(2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2) c) Leider verstehe ich diesen Tipp nicht... zwar erreicht exp(x) die null nicht jedoch wird sie auch nicht negativ... ich habe auch schon einige Versionen versucht, jedoch komme ich nicht drauf \quoteoff Achtung: Wir reden hier von komplexwertigen Funktionen. Beispielsweise ist $\exp(\pi i)=-1$. Abgesehen davon gibt es so ein Konzept wie "negativ" auf $\mathbb C$ nicht.


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ochen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-12

\quoteon(2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2) Hallo Bai, a) der Satz von Liouville besagt ja, dass jede ganze beschränkte Funktion in $\mathbb{C}$ konstant ist. Das Bild ist ja beschränkt. Aber inwiefern hilft mir das hier weiter? \quoteoff Die gesuchte Funktion ist also ganz und beschränkt. Somit folgt nach dem Satz von Liouville ... \quoteon b) Leider sagt der Satz von Picard mir nichts... im Internet habe ich den kleinen und den großen gefunden, welchen meinst du jetzt und inwiefern hilft der mir? \quoteoff Hast du die Aussagen beider Sätze gelesen? Der kleine Satz sagt genau das aus, was du brauchst. Du darfst ihn aber sicherlich nicht benutzen. Aber du weißt wenigstens jetzt, was du zeigen musst. \quoteon c) Leider verstehe ich diesen Tipp nicht... zwar erreicht exp(x) die null nicht jedoch wird sie auch nicht negativ... ich habe auch schon einige Versionen versucht, jedoch komme ich nicht drauf Gruß \quoteoff Es ist $\exp(i\pi)<0$. Kennst du die Polardarstellung einer komplexen Zahl? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Sabrina94
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13

Hallo ihr 2, Danke für eure Antworten. Dann würde ja gellten: a) Durch Liouville ist die Funktion konstant. Aber es gibt doch keine Funktion welche konstant ist und zeitgleich auf einen Kreis abbildet. Oder? b) Der kleine Satz besagt, dass jede nicht-konstante Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene abdecken muss, wobei nur ein Punkt herausgenommen werden darf. So da bei diesem Bild mehrere Werte im Bild fehlen, muss diese Funktion ja auch konstant sein. c) wäre dann nicht exp(ix) eine geeignete Funktion? Nein leider sagt mir das nichts... Da man komplexe Funktionen schwer darstellen kann, habe ich damit leider Probleme, da ich es mir nicht vorstellen kann. Gruß


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ochen
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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-13

Zu a) Was ist das Bild einer konstanten Funktion? Zu b) Den Satz darfst du nicht verwenden. Welche Sätze kennst du denn noch? Zu c) Was hast du denn gegen $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C},\, t\mapsto\exp(t)$? Dann ist $f(i\pi)=-1$.


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Sabrina94
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-14

Hallo Ochen, a) Das Bild einer konstanten Funktion besitzt nur ein Element. Die Kreisscheibe jedoch hat ja mehrere... Also kann ich sagen, dass nach Liouville keine Funktion existiert, welche die Kreisscheibe als Bild hat. c)stimmt... die exp(x) erfüllt dies ja auch... b)Leider sind wir in der Vorlesung bis jetzt nur auf den Satz von Liouville gekommen... Danke für die Hilfe


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Bai
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-14

\quoteon(2019-01-14 08:59 - Sabrina94 in Beitrag No. 7) Hallo Ochen, a) Das Bild einer konstanten Funktion besitzt nur ein Element. Die Kreisscheibe jedoch hat ja mehrere... Also kann ich sagen, dass nach Liouville keine Funktion existiert, welche die Kreisscheibe als Bild hat. c)stimmt... die exp(x) erfüllt dies ja auch... b)Leider sind wir in der Vorlesung bis jetzt nur auf den Satz von Liouville gekommen... Danke für die Hilfe \quoteoff a) Richtig. c) Ja, aber das muss natürlich auch bewiesen werden. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass die komplexe Exponentialfunktion surjektiv auf $\mathbb C^\times$ ist. b) Kennst du z.B. den Satz von der Gebietstreue? Irgendwelche topologischen Aussagen werdet ihr über Bilder holomorpher Funktionen bestimmt gemacht haben und das Bild in dieser Teilaufgabe ist abzählbar. Da geht immer was schief (außer natürlich für konstante Funktionen).


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Sabrina94
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15

Hallo Bai, dann sind a und c erledigt. dafür vielen Dank zu b) Der Satz der Gebietstreue sagt aus: Für ein Gebiet D\(\in \mathbb{C}\) und eine nicht-konstante, holomorphe Funktion f: \(D \rightarrow \mathbb{C}\) gilt, dass f(D) \(\in \mathbb{C}\) ebenfalls ein Gebiet, also offen und wegzsmhängend, ist. Ich vermute, dass die gesuchte Fkt in ihrem Bild kein Gebiet bildet und somit müsste die Funktion konstant sein. Dann kann ich wieder wie bei a) argumentieren. Also existiert eine solche Funktion ebenfalls nicht. kann ich das so argumentieren? Gruß, Sabrina


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ochen
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  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-15

Es muss $D\subseteq \mathbb{C}$ und $f(D)\subseteq \mathbb{C}$ heißen. Ist denn die Bildmenge nicht offen oder nicht wegzusammenhängend? Kannst du eines von beidem nachweisen?


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Sabrina94
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15

ohja stimmt. Da hab ich das falsche Symbol genutzt du hast natürlich recht. die Menge ist ja offen, was meiner Ansicht nach klar ist. Oder Also muss ich zeigen, dass die Bildmenge nicht wegzsmhängend ist. Da jedoch habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen kann.. Gruß Sabrina


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ochen
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  Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-15

Wieso sollte die Menge offen sein? Was bedeutet offen?


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Sabrina94
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15

Laut Definition ist eine offene Menge eine Menge, die genau definierte Eigenschaften hat. Die Elemente liegen in der Umgebung zu anderen Elementen der Menge. Der Rand ist somit leer. Jetzt wo du es erwähnst bin ich mir da nicht mehr so sicher ob die Menge offen ist. Ich kann mir nämlich nicht vorstellen dass die Elemente alle in der Umgebung zu den anderen liegen... Daher würde ich nun vermuten sie ist nicht offen...


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ochen
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  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-15

Ja, das stimmt schon so irgendwie :/ Wäre das Bild offen, so gibt es für alle $z\in f(\mathbb{C})$ ein $\varepsilon>0$, sodass $x\in f(\mathbb{C})$ für alle $x\in \mathbb{C}$ mit $|x-z|<\varepsilon$ gilt. Was musst du also zeigen?


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Sabrina94
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15

naja mittels eines Gegenbeispieles könnte ich vlt zeigen, dass die Menge nicht offen ist. Ich müsste dafür 2 Elemente a und b aus der Menge nehmen und zeigen, dass nicht gilt: \[\vert a-b \vert < \epsilon \] kann ich dafür mir einfach 2 bel. Zahlen aus der Menge nehmen? Um ehrlich zu sein: Ich habe nie wirklich verstanden, wie man die Offenheit zeigt oder eben nicht zeigt... es gehört zu meinen Hassthemen... Danke für die Hilfe


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Gestath
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  Beitrag No.16, eingetragen 2019-02-06

Vielleicht sollte man noch anmerken, dass die Behauptung b) sogar für stetige Funktionen f gilt, sofern der Definitionsbereich zusammenhängend ist. Betrachte zum Beweis die stetigen Funktionen g_1, g_2 nach \IR g_1(z)= re(f(z)) und g_2(z)=im(f(z)). Da der Definitionsbereich zusammenhängend ist, sind es auch die Wertebereiche von g_1 und g_2.


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