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Funktionentheorie » Holomorphie » |f(z)| ≤ K|z|
Autor
Universität/Hochschule J |f(z)| ≤ K|z|
Roemer
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  Themenstart: 2019-01-15

\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\) ist eine holomorphe Funktion, sodass für geeignets konstantes \(K\) gilt: \(|f(z)| \leq K|z|\) \( \forall z\in \mathbb{C} \) Ich soll zeigen, dass \(f(z)=az\). Ich habe bisher noch nichts erreicht. Das ganze erinnert mich allerdings etwas, an einen Beweis, dass \(\frac{d}{dx}f(x)=f(x)\) einzig die Lösung \(f(x)=ae^x\) hat. Allerdings habe ich mit ähnlichen Überlegungen bisher keinen Erfolg gehabt.

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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-15

Hallo, du könntest zeigen, dass $\left|\frac{f(z)}{z}\right|\leq K$ für alle $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ gilt. Vielleicht lässt sich damit etwas machen.

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Roemer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15

Das bekomme ich doch sofort, wenn ich die Bedingung durch |z| dividiere. Das soll quasi schon gelten. Ich soll zeigen, dass es aber nur die Funktion \(f(z)=az\) gibt, die dies erfüllt.

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Tirpitz
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-15

Hallo! Der Beweis verläuft analog zu dem vom Satz von Liouville. Da f ganz ist, kannst du es in einer Kreisscheibe mit Radius $r$ in eine Potenzreihe entwickeln. Zeige mit Hilfe der Cauchy-Integralformel, dass für die Entwicklungskoeffizienten dann $|c_m|\le\frac{K}{r^{m-1}}$ für alle $r>0$ folgt.

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Roemer
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-25

Etwas verspätet, aber danke. War wirklich recht leicht mit dem Satz.

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Roemer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Roemer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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