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  Separabel, Galois |
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CandyKane
Junior 
Dabei seit: 02.05.2018
Mitteilungen: 13
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Hey,
ich brauche Hilfe bei einer Übungsaufgabe.
  
Sei K ein Körper mit algebraischen Abschluss K^- und char K != 2, sei f(x)\el\ K[X] ein separables Polynom von Grad n und sei x_1,...,x_n die Nullstellen von f in K^-. Sei \delta_f = produkt(,1<=i<j<=n) x_i-x_j. a) Zeigen Sie, dass \delta_f^2 ein Element von K ist und dass entweder \delta_f \el\ K oder K \subset\ K(\delta_f) eine separable Erweiterung von Grad 2. b) Sei K \subset\ K_f der Zerfallungskörper zum Polynom f über K. Durch Wirkung der Galoisgruppe auf die Nullstellen x_1,...,x_n können wir Gal(K_f / K) als Untergruppe von S_n betrachten. Zeigen Sie, dass \delta_f \el\ K genau dann, wenn Gal(K_f/K) \subset\ A_n.
Muss man bei der a) zeigen, dass delta nicht Charakteristik 2 hat? Und bei dem 2. Teil von a) weiß ich auch noch nicht genau, was ich da tun soll.
Bei der b) hab ich auch noch keinen Ansatz.
LG 
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TomTom314
Senior 
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1487
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-18
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zu a) $char(K)\neq 2$ bedeutet zunächst $0\neq 2$, was Du wahrscheinlich bein einer Binomischen Formel verwendet hast. Was Du mit "...dass delta nicht Charakteristik 2 hat?" meinst, kann ich nicht nachvollziehen. Zum zweiten Teil. Im wesentlichen zeigst Du $[K(\delta):K]\leq 2$ und bringst es mit der Formulierung der Aufgabe in Einklang.
zu b) Für ein $\sigma\in S_n$ gibt es ein Vorzeichen $sgn(\sigma)$. Darüber läßt sich $A_n$ beschreiben, d.h. $\sigma \in A_n\iff sgn(\sigma) = 1$. Nun versuche $\sigma(\delta_f)$ mittels $sgn(\sigma)$ zu beschreiben.
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CandyKane
Junior
Dabei seit: 02.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18
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Hey Tom,
erstmal danke für deine Antwort!
Also zur a) hab mich mir erstmal angeguckt, was \([K(\delta):K]=2\) bedeutet. Dann ist das Minimalpolynom von \(K(\delta)\) gleich \(X^2-\delta^2\) und \(\delta\) wäre nicht in K, da sonst das Minimalpolynom in seine Linearfaktoren zerfällt. Und andersherum wäre wenn \(\delta\) in K ist, es nicht möglich, dass K(\(\delta\)) eine separable Erweiterung Grad 2 ist, da das Minimalpolynom \(X^2-\delta^2\) zerfällt.
Wäre die Idee so richtig?
Und wie soll man zeigen, dass \(\delta^2\) in K ist?
Die b) schau ich mir mit deinem Tipp noch an.
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TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1487
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-18
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Also zur a) hab mich mir erstmal angeguckt, was \([K(\delta):K]=2\) bedeutet. Dann ist das Minimalpolynom von \(K(\delta)\) gleich \(X^2-\delta^2\) und \(\delta\) wäre nicht in K, da sonst das Minimalpolynom in seine Linearfaktoren zerfällt. Und andersherum wäre wenn \(\delta\) in K ist, es nicht möglich, dass K(\(\delta\)) eine separable Erweiterung Grad 2 ist, da das Minimalpolynom \(X^2-\delta^2\) zerfällt.
Wäre die Idee so richtig?
Ich denke schon. Es fehlt mir noch eine Begründung, warum $K(\delta)/K$ separabel ist. Ich hätte noch zwei kleine Kontrolfragen: Falls $\delta\in K$, was ist das Minimalpolynom von $\delta$ und wie sieht $K(\delta)$ aus?
Und wie soll man zeigen, dass \(\delta^2\) in K ist?
Idealerweise kannst Du $\delta^2$ durch die Koeffizienten von $f$ beschreiben. Wenn Du dieses für $X^2+pX+q=(X-x_1)(X-x_2)$ ausrechnest, bekommst Du eine Idee, wie es geht (Hinweis elementarsymmentrische Polynome). Eine andere Variante ist, dass Du ähnlich zu b) $\sigma(\delta^2) = \delta^2\ \forall \sigma\in Gal\subset S_n$ zeigst.
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CandyKane
Junior
Dabei seit: 02.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19
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Hey Tom,
die a) hab ich soweit verstanden bis auf eine Sache:
Wenn \(\delta\) in K ist, soll die Erweiterung von Grad 2 inseperabel sein. Also ist das MinPol von der Form \((X-\delta)^2\), da es dann die doppelte Nullstellen \(\delta\) enthält (wenn ich dies richtig verstanden habe). Ich verstehe aber nicht wieso das aus \(\delta\) in K folgt.
Außerdem komm ich bei der b) auch nicht wirklich weiter. Ich kann ja ein \(\sigma \in Gal(K_f/K)\) finden, welches eine Permutation der Nullstellen ist. Aber ich weiß nicht wie ich das mit der Aufgabe in Verbindung setzen soll.
Kannst du mir noch einen Tipp geben?
LG
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CandyKane
Junior 
Dabei seit: 02.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19
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TomTom314
Senior 
Dabei seit: 12.05.2017
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| Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-19
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CandyKane
Junior
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Mitteilungen: 13
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-20
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Die Teilaufgabe c) und d) hab ich geschafft
Zur a):
Also ich stehe irgendwie auf dem Schlauch. Da du geschrieben hattest, dass man im wesentlichen \([K(\delta):K]<=2\) zeigt, bin ich mal davon ausgegangen, dass wenn \(\delta\) in K ist, \([K(\delta):K]=1\) ist. Dann müsste das MinPol Grad 1 haben, also \(X-\delta\) und damit kann die Erweiterung zum Grad 2 nicht separabel sein (?).
Zur b):
Ich bin ehrlich gesagt nicht selber auf die Formel für signum gekommen, sondern hab diese bei Wikipedia gesehen. Diese folgt daraus, dass im Zähler und Nenner bis auf Vorzeichen und Reihenfolge dieselben Werte stehen. Jeder Fehlstand führt zu einem negativen Vorzeichen und da multipliziert wird, ist sign=1, wenn die Permutation gerade ist.
Damit wäre dann auch \(\sigma(\delta^2)=\delta^2\ für\ alle\ \sigma \in Gal\) da \(sign^2=1\) ist. Somit ist \(\delta^2 \in K\).
LG
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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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| Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-20
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Zu a) Separabilität. Unabhängig wie $\delta$ genau definiert ist, folgt aus $L/K$ separabel und $\delta \in L\Rightarrow K(\delta)\subset L$ bereits $K(\delta)/K$ separabel. Wähle z.B. $L=K_f$.
$[K(\delta):K] \leq 2$. Aus $\delta\in L$ (oder $\delta^2\in K$) folgt, dass $\delta$ algebraisch ist, d.h. wir haben die Mengengleichheit $K(\delta) = \{\sum_{k=0}^n a_k \delta^k\mid n\in\IN\ \ldots\}$. Wegen $\delta^2\in K$ gibt es eine reduzierte Darstellung $K(\delta) = \{a_1\delta + a_0 \mid a_1,a_2\in K\}$, d.h. $K(\delta)$ wird als $K$-Vektorraum von 2 Elementen erzeugt und somit $dim_K K(\delta) =[K(\delta):K] \leq 2$. Worauf ich hinaus wollte, ist folgendes (insbesondere die letze Äquivalenz): $[K(\delta):K]=1\iff \delta\in K \iff \text{mipo}_\delta(X)=X-\delta \iff \boldsymbol{K=K(\delta)}$
Zu b)
... bei Wikipedia gesehen.
Wikipedias Fluch. Es ist ok, wenn Du Dich bei Wikipedia umsiehst, aber was Ihr nicht in der Vorlesung/Übung bewiesen habt, mußt Du selbst beweisen (und nicht einfach auf Wikipedia verweisen  ). Der Beweis ist nicht so kompliziert. Eine Permutation läßt sich immer als Produkt von Transpositionen schreiben $\sigma = \tau_1\cdot\ldots\cdot\tau_n$ und es gilt $sgn(\sigma)=(-1)^n$. Wenn Du nun z.B. $x_1$ und $x_2$ vertauschst, kannst Du durch den Vergleich der einzelnen Faktoren von $\delta$ sehen, dass genau ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Damit erhält man $\sigma(\delta) = (-1)^n\delta = sgn(\sigma)\delta$ (ggf. meinen wir dasselbe).
... und noch eine Rückfrage. Wo hast Du $char(K)\neq 2$ verwendet. Hinweis: Für $char(K)= 2$ gilt immer $\delta\in K$.
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CandyKane
Junior
Dabei seit: 02.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-20
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Danke!
Wenn die Char(K)=2 wäre, gilt 1+1=0. Damit ist aber auch \(\delta=-\delta\) und somit gibt es keine separable Erweiterung von Grad 2. Also brauchte ich die Charakteristik, damit \([K(\delta):K]=2\) wenn \(\delta\) nicht in K ist.
Wenn das so stimmt, habe ich es verstanden 
LG
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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1487
| Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-20
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Wenn das so stimmt, habe ich es verstanden :D
Wir sind auf jedem Fall bei "Rückfragen beim Vorrechnen" angekommen.
Mit "\(\delta=-\delta\)" hast schon einen wesentlichen Punkt erkannt. Mir geht es um diese Äquivalenz (die entscheidende Stelle, bei der Char(K) verwendet wird).
Für $char(K)\neq 2$ ist diese richtig, aber für $char(K)= 2$ erhälst Du eine andere Rechnung...
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CandyKane
Junior
Dabei seit: 02.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-21
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Wenn \(\delta=-\delta\) ist, dann muss auch \(\sigma(\delta)=-\delta\) sein, aber dann ist \(\sigma\) ungerade, also ist \(Gal \not \subseteq A_n\) (?).
LG
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TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1487
| Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-21
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Das lasse ich gelten. Was ich mir überlegt hatte. Im Fall $char(K)=2$ haben wir $\sigma(\delta)=sgn(\sigma)\delta\overset{!}{=}\delta\ \forall \sigma\in Gal$ und somit unabhängig von der Galois-Gruppe $\delta\in K$.
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