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 Holomorphes f ist konstant wenn |f| konstant ist |
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Potheker
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 |  Themenstart: 2019-01-26
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f sei holomorph auf dem Gebiet G und |f| sei auf G konstant. Zeige dass dann f konstant auf G ist.
Wenn man sich klar macht was Holomorphie zu bedeuten hat, ist die Eigenschaft schon logisch. Aber ich kriege keinen formalen Beweis zusammen.
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Bai
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| Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-26
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Hi,
das folgt unmittelbar aus dem Maximumprinzip.
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Potheker
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-26
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\quoteon(2019-01-26 12:08 - Bai in Beitrag No. 1)
Hi,
das folgt unmittelbar aus dem Maximumprinzip.
\quoteoff
In unserem Funktionentheorie-Script ist das eine Aufgabe in Kapitel 1.2, zu dem Zeitpunkt war also grade mal nur holomorphie und Kurvenintegrale sowie die allersimpelsten Sätze bekannt.
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Bai
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-26
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\quoteon(2019-01-26 12:24 - Potheker in Beitrag No. 2)
[...] holomorphie und Kurvenintegrale sowie die allersimpelsten Sätze bekannt.
\quoteoff
Welche Sätze denn z.B.? Was hast du bisher probiert?
Es ist schwierig, zu erraten, was du schon weißt/kannst und was nicht.
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Potheker
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-26
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\quoteon(2019-01-26 13:22 - Bai in Beitrag No. 3)
Welche Sätze denn z.B.? Was hast du bisher probiert?
Es ist schwierig, zu erraten, was du schon weißt/kannst und was nicht.
\quoteoff
Eigentlich nur die Grundlegenden Sachen wie Produktregel u.Ä., die C-R-Dgleichungen und zu Kurvenintegralen nur so ziemlich die Sachen die man sich im Beweis auch selbst herleiten kann: dass man die Kurve aufteilen kann, dass man die Werte in eine Stammfunktion einsetzen kann, Standardabschätzung
Bis jetzt habe ich nur versucht anhand der C-R-Dgl. irgendwie hinzukriegen dass die Ableitung überall null sein muss, ich weiß auch nicht wie ich es sonst versuchen könnte
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-26
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Ein bischen mehr hattet ihr schon. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=239750 würde mir zu dieser Aufgabe z.B. einfallen.
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Potheker
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-26
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\quoteon(2019-01-26 17:06 - TomTom314 in Beitrag No. 5)
Ein bischen mehr hattet ihr schon. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=239750 würde mir zu dieser Aufgabe z.B. einfallen.
\quoteoff
Das ist aber alles viel später passiert, ich gehe gerade die Aufgaben vom Anfang des Scripts durch, diese Stammt aus der vielleicht zweiten oder dritten Vorlesungswoche.
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-26
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Man kann recht gut die CR-DGLn dafür verwenden. Sei $u = \Operatorname{Re}(f)$ und $v = \operatorname{Im}(f)$.
Die Bedingung ist, dass $u^2+v^2$ konstant ist.
Ableiten der Bedingung ergibt
$\displaystyle u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+v\cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ und
$\displaystyle u \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+v\cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
Beides quadrieren, in einer der Gleichungen im gemischten Teil die DGLn benutzen und dann aufaddieren (dann fällt der gemischte Teil weg).
Schau mal, ob du damit weiterkommst.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Gestath
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| Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-05
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Hi,
Man kann die Behauptung zurückführen auf:
Sei g: G -> \IC holomorph und g(G)\subsetequal\ \IR dann ist g konstant.
Beweis: Für jedes z \el\ G und h \el\ \IR gilt:
g'(z)=lim(h->0,(g(z+h)-g(z))/h=lim(h->0,(g(z+i*h)-g(z))/(i*h)=-i*lim(h->0,(g(z+i*h)-g(z))/h
Ganz rechts steht etwas rein Imaginäres und der erste Grenzwert ist reell. Da beide gleich sind, folgt g'(z)=0 -> g=const.
Sei nun abs(f)=r= const.<>0 (der Fall 0 ist trivial)
Sei g: G -> \IC mit g(z) =f(z)/r -> abs(g)=1 -> 1/g=g^- ist holomorph -> re(g)=(g+g^-)/2 und im(g)=(g-g^-)/2i sind holomorph und nehmen nur reelle Werte an -> re(g) und im(g) und damit g sind konstant -> f ist konstant
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