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Mathematik » Numerik & Optimierung » 2D-FEM mit Ansatzfunktion 1. Ordnung konvergiert nicht gegen exakte Lösung
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Autor
Universität/Hochschule J 2D-FEM mit Ansatzfunktion 1. Ordnung konvergiert nicht gegen exakte Lösung
a_nach_p
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Dabei seit: 16.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-12


Hallo zusammen,

ich habe das folgende Problem:

Ich löse eine 2D FEM-Formulierung der Laplace-Gleichung Δφ=0 auf zwei konzentrischen Kreisen (Ω) mit jeweils Dirichlet-Randbedingungen (auf glatten ∂Ω). Die analytische Lösung ist im wesentlichen der Gestalt φ(ρ)=ln(ρ).
Implementiert sind Ansatzfunktionen der ersten Ordnung auf Dreiecken, die den gleichen Lebensraum haben wie die Lösung φ (Sobolev-Raum zweifach integrierbarer Funktionen).  

Ich beobachte folgendes:
Egal wie fein das Mesh aufgelöst ist; ab einer bestimmten Auflösung wird der Fehler zu der analytischen Lösung nicht mehr kleiner.

Ist es demnach richtig zu sagen, dass die ln-Funktion nicht genauer aufgespannt werden kann durch eine endliche (finite) Summe von linearen Funktionen?

Würde der Fehler kleiner werden, wenn Ansatzfunktionen höherer Ordnung verwendet werden (mehr DoF)?

Gibt es dafür eine Begründung?

Viele Grüße und Dank im voraus.







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piquer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 406
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-13


Hi a_nach_p,

liegt die Singularität außerhalb des Gebiets, so sollte sich der Fehler wie
$$
\left|| \varphi - \varphi_h \right||_{L_2} \leq C h^2
$$
verhalten, wobei $C$ von der Netzregularität und der $H^2$-Norm der exakten Lösung $\varphi$ abhängt. Liegt die Singularität nahe am Rand, so kann $C$ sehr groß werden. Außerdem kann es sein, dass bei der Netzverfeinerung Dreiecke entarten. Dann ist $C$ nicht mehr konstant, sondern hängt von $h$ ab. Benutzt du eine eigene Implementierung oder eine Bibliothek? Ab welcher Größenordnung stagniert der Fehler? Ansatzfunktionen höherer Ordnung vergrößern den Exponenten von $h$ in obiger Fehlerabschätzung.

Viele Grüße
Torsten



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a_nach_p
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Dabei seit: 16.11.2017
Mitteilungen: 4
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-12


Hallo piquer,

ich danke Dir für Deine Antwort!
Es gab es anderes; trivialeres Problem.
Wir hatten den Code zunächst für ein Poisson-RWP geschrieben; d.h. mit einer rechten Seite f; d.h. Δφ=f.
Da hatten wir noch die konstante Funktion 0.5 stehen.
Nachdem wir das auf die Nullfunktion geändert haben hat alles geklappt.

Zu Deiner Frage:
Wir haben den Vernetzer Gmsh mit der Gmsh API über die Julia PL angesteuert und uns eine Partitionierung des Rechengebietes erstellt.

Danke Dir nochmals,
a_nach_p



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