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 Volumen aus Querschnitten berechnen |
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zooplan
Junior 
Dabei seit: 09.02.2019
Mitteilungen: 6
Aus: NRW
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Ich habe einen unregelmäßigen Körper und möchte mich dessen Volumen annähern:
Bekannt ist der den Körper umschließenden Quader und zwei Querschnitte
die im 90° Winkel zueinander stehen.
Der umschließende Quader ist 18,4m x 14,8m x 13,5m.
Der erste Querschnitt nimmt 76,86% der Fläche 18,4m x 13,5m ein.
Der zweite Querschnitt nimmt 75,55% der Fläche 18,4m x 14,8m ein.
Wie läßt sich daraus das tatsächliche Volumen, genauer begrenzen, als es durch den umschließenden Quader gegeben ist?
Grundsätzlich stelle ich mir das analog zum Steinmetzkörper- Bizylinder
vor: hier
weiß aber nicht ob diese Berechnung nur für regelmäßige Körper möglich ist.
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best wishes bis bald ;-D
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26823
Aus: Hessen
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-12
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Hi zooplan
Da der Querschnitt gar nichts darüber hergibt, wie es etwas abseits davon aussieht (z.B. 1mm parallel daneben), dürfte das ziemlich aussichtslos sein.
Du kannst allerdings versuchen, den Umriß der Querschnitte durch Ellipsen zu approximieren und dann das Ellipsoid zu berechnen. Das könnte dem vermuteten Körper einigermaßen nahe kommen – wenn er keine extremen Beulen oder Dellen abseits des Querschnitts hat.
Gruß vom ¼
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5986
Aus: Niedersachsen
| Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-13
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Wenn die Querschnitte repräsentativ für den gesamten Körper sind, würde ich das Volumen auf etwa zwei Drittel des umgebenden Quaders, also auf etwa 2400m³ schätzen.
Mein Ansatz dafür ist die Frage: Welches Volumen hätte ein kleinerer Quader, von dem ich weiß, dass sein Querschnitt in der einen Richtung 76,86% und in der anderen Richtung 75,55% des umgebenden Quaders beträgt.
Die Frage lässt sich nicht exakt beantworten, weil es verschieden große Quader gibt, die diese Eigenschaft haben
z.B. mit den relativen Kantenlängen
- (1.0000 0.7686 0.8930) ergibt 75.55% des Volumens
- (0.7686 1.0000 0.7555) ergibt 58.07% des Volumens
(das sind gerade die Extremfälle).
Einen "mittleren" Schätzwert für das Volumen dieses Quaders erhält man mit der Rechnung:  . Das entspricht dem Quader mit den relativen Kantenlängen
- (0.8805 0.8729 0.8655). Das ist der Quader, bei dem die relative Länge der von beiden Flächen gemeinsam benutzten Kante genau zwischen den anderen beiden relativen Längen liegt.
Sind die beiden Schnittflächen nicht "durchschnittliche" Schnittflächen, sondern diejenigen, bei denen der Schnitt maximal wird, würde ich, wie von Viertel angedacht einen Ansatz wählen, der das Volumen eines Elipsoides mit den angegebenen Schnittflächen bestimmt.
Mit diesem Ansatz kommt man auf einen Elipsoid, dessen Volumen etwa halb so groß ist wie der umgebende Quader, also ca. 1800m³.
Die Wahrheit liegt wohl irgendwo dazwischen.
PS: Mit dem Elipsoid-Ansatz kommt man immer auf einen Elipsoid mit etwa 75% (genau sind es  ) des Volumens des auf obige Weise berechneten Quaders.
0.75225... ist das Volumen einer Kugel mit einem Querschnitt (entlang eines Großkreises) von 1.
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zooplan
Junior 
Dabei seit: 09.02.2019
Mitteilungen: 6
Aus: NRW
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17
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1. Vielen Dank für Eure Antworten.
2. Die Querschnitte stellen die maximalen Schnittflächen
beziehungsweise die Silouetten dar. Darum muss nach meiner
Ansicht das Volumen des Körpers kleiner als 75,55% sein.
In meiner laienhaften Unvernuft hatte ich zunächst gedacht,
ich könnte mich dem tatsächlichen Volumen durch Multiplikation annähern.
0,7555*0,7686=0,5806
und dann gefunden, dass das Volumen eines Bizylinders nicht
0,7854*0,7854=0,6168 sondern 2/3 des umgebenden Würfels ist.
Da der falsch ermittelte Wert jedoch noch über dem eines Trizylinders
(58,58%) und der einer Kugel (52,36% des umgebenden Würfels)liegt, meine Nachfrage:
Ist das für alle näherungsweise ellisoide Körper im Verhältnis zum umgebenden Quader so?
Wobei ich den betrachteten Körper eher als "Ellipsoidenhaufen" oder "-konglomerat" beschreiben würde.
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5986
Aus: Niedersachsen
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-18
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2019-02-17 12:42 - zooplan in Beitrag No. 3 schreibt:
Ist das für alle näherungsweise ellisoide Körper im Verhältnis zum umgebenden Quader so? Was meinst Du mit "das"?
Wir haben eine Körper, von dem wir die Silhouetten von vorn, von recht und von oben kennen.
Nun nehmen wir einen (genügend großen) Quader und schneiden alles weg, was nicht zur Silhouette von vorn passt. Dann kippen wir den Quader und schneiden alles weg, was nicht zur Silhouette von rechts passt.
Dann kippen wir erneut und schneiden alles weg, was nicht zur Silhouette von oben passt. Was dann noch übrig bleibt, ist mindestens so groß wie der ursprüngliche Körper. "Das" ist immer so.
Das tatsächliche Volumen liegt also immer unterhalb des Volumens des Tri-Zylinders mit gleicher Silhouette.
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zooplan
Junior
Dabei seit: 09.02.2019
Mitteilungen: 6
Aus: NRW
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-03
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Ich betrachte eine Kugel in einem Würfel. Die Silouette der Kugel im Würfel ist ein Kreis in einem Quadrat. Alles außerhalb des Kreises schneide ich weg und erhalte einen Zylinder. Das Volumen eines Zylinders mit der Höhe h=2r beträgt 0,7854 mal dem Volumen des umgebenden Würfels mit der Kantenlänge 2r.
Kippe ich den Zylinder um 90° sehe ich wieder einen Kreis in einem Quadrat.
Schneide ich wieder alles Außerhalb des Kerises Weg erhalte ich einen Bizylinder. Das Volumen des Bizyniders beträgt 0,6666 mal dem Volumen des umgebenden Würfels mit der Kantenlänge 2r.
0,7854 * 0,7854 ist aber =0,6168?
Obwohl das weniger ist als das tatsächliche Volumen des Bizylinders ist es dennoch mehr als der Volumenanteil der Kugel.
Da ich mich dem Objekt von dem ich zwei Silouetten kenne nur annähern will,
war meine Frage ob Flächenanteil x Flächenanteil immer kleiner ist als das Volumen des entsprechenden Bizylinders und größer ist als der tatsächliche Volumenanteil des betrachteten Körpers.
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trunx
Senior
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2749
Aus: Berlin
 | Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-03
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Hallo,
1. wie Viertel bereits gesagt hat, sind das alles Spekulationen, da man eben grad nicht weiß, wie der Körper 'immer' außerhalb des Querschnitts geformt ist.
2. Nur unter der Annahme, dass es einigermaßen regelmäßig zugeht, hat kitaktus so etwas wie eine obere Schranke (hier ein Quader, in deiner Vorstellung ein Würfel) und eine untere Schranke (hier ein Ellipsoid, in deiner Vorstellung die Kugel) berechnet. Auch wenn man jetzt sagt, dass sich die tatsächlichen Größenverhältnisse irgendwo dazwischen befinden werden, ist es wegen 1. immer noch so, dass die tatsächliche Größe größer als der Quader bzw. kleiner als das Ellipsoid sein könnte.
3. Aus diesem Grunde ist es jetzt quasi erst recht spekulativ, den Wert zwischen den Schranken als den 'genaueren' bestimmen zu wollen. Auch die Benutzung der Körperbegriffe 'Bizylinder' oder 'Trizylinder' täuscht über das prinzipielle Unwissen hinweg.
Da wäre eine Sprachregelung wie 'Das Volumen des Körpers liegt wahrscheinlich zwischen...' oder 'Das Volumen des Körpers beträgt wahrscheinlich 2100m3 ± 15%.' angemessener.
bye trunx
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das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26823
Aus: Hessen
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-03
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zooplan, du argumentierst in Beitrag #5 mit der Silhouette einer Kugel, die natürlich identisch mit einem Querschnitt ist, wenn er durch den Mittelpunkt geht.
Und da haben wir ein Problem:
Du hast laut deiner Aufgabenstellung im Themenstart den Querschnitt (bzw. deren zwei) des fraglichen Körpers gegeben, nicht die Silhouette!
Bei der Silhouette könntest du den Körper mit deiner „Überstülpmethode“ eingrenzen, bei einem Querschnitt weißt du … gar nichts. Nimm eine Hantel und schneide senkrecht zur Längsachse in der Mitte. Der Minikreis sagt rein gar nichts über den ganzen Körper aus.
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haribo
Senior 
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2023
| Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-04
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unter der annahme das es sich ungefähr um einen torso-förmigen-körper handeln soll und die querschnitte representativ sind würde ich vorschlagen jeweils aus einer hälfte eines schnittes einen vierteltorso zu berechnen und als näherung dann alle vier torsoteile zu addieren
zum berechnen brauchst du neben der teilflächengrösse A jeweils noch die lage des teil-flächenschwerpunktes bzw seinen abstand R zur rotationsachse, (die teilfläche darf dabei die rotationsachse nicht überschneiden, darum das aufteilen der schnitte in jeweils zwei hälften...)
dann gilt für ein torsovolumen die guldinische regel: "das volumen eines rotationskörpers ist gleich dem produkt aus dem maß der erzeugenden fläche und der weglänge ihres schwerpunktes"
also für einen ganzen torus: V=A x R x pi x 2
und für einen vierteltorus ein viertel davon
deine skizzen in #1 sind bisher wohl nicht masstäblich (denn 15,1≠14,8 und 13,7≠13,5 wenn ich die grosse länge auf 18,4 skaliere)...
aber ungefähr käme folgendes heraus:
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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3321
Aus: Raun
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-09
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2019-03-03 11:45 - zooplan in Beitrag No. 5 schreibt:
Da ich mich dem Objekt von dem ich zwei Silouetten kenne nur annähern will,
war meine Frage ob Flächenanteil x Flächenanteil immer kleiner ist als das Volumen des entsprechenden Bizylinders...
Hallo zooplan,
Flächenanteil x Flächenanteil kann auch größer als das Volumen des Bizylinders sein. Als Beispiel links eine Silhouette aus Vorderansicht und rechts aus Seitenansicht
![<math>
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\fill[gray] (0,0) -- (8,0) -- (8,2) -- (4.1,2) -- (4.1,4) -- (3.9,4) -- (3.9,2) -- (0,2) -- cycle;
\fill[gray] (10,4) -- (18,4) -- (18,2) -- (14.1,2) -- (14.1,0) -- (13.9,0) -- (13.9,2) -- (10,2) -- cycle
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/dfda3a44512665dfa02acbd81ddeb6ef.png "\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\fill[gray] (0,0) -- (8,0) -- (8,2) -- (4.1,2) -- (4.1,4) -- (3.9,4) -- (3.9,2) -- (0,2) -- cycle;
\fill[gray] (10,4) -- (18,4) -- (18,2) -- (14.1,2) -- (14.1,0) -- (13.9,0) -- (13.9,2) -- (10,2) -- cycle
\end{tikzpicture}")
Der zugehörige Bizylinder besteht aus zwei hochkant übereinandergestellten Brettern, In Vorderansicht blickt man auf die Stirnseite des oberen Brettes. in der Seitenansicht auf die Stirnseite des unteren Brettes. Die Bretter kann man beliebig dünn machen, so dass das Gesamtvolumen fast Null wird. Flächenanteil x Flächenanteil bleibt dagegen nahezu gleich.
Man kann auch die Maßeinheit wechseln. Für einen Würfel mit Kantenlänge 1 dm sind beide Zahlenwerte gleich, in cm oder m gerechnet ist einmal der eine größer, einmal der andere.
Für das Volumen des Bizylinders verwende ich die Formel
  
\ V = int(d_V(z)*d_S(z),z) Darin ist d_V(z) die Länge der Schnittlinie \(Gesamtlänge bei mehreren Linienstücken), wenn man die Silhuette der Vorderansicht in Höhe z durchschneidet. d_S(z) entsprechend für die Seitenansicht.
Viele Grüße,
Stefan
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zooplan
Junior
Dabei seit: 09.02.2019
Mitteilungen: 6
Aus: NRW
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14
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Vielen Dank, Viertel, Kitaktus, Haribo und Stefan für Eure Antworten.
Entschuldigung für meine Ungenauigkeiten in der Eingangsfrage und den Darstellungen.
Ihr hab mich ein wenig erleuchtet ;)
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