| |
| Autor |
  Laplace Operator in Kugelkoordinaten |
|
TerraNovatius
Neu 
Dabei seit: 16.02.2019
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2019-02-16
|
Guten Abend!
Der Titel mag vielleicht etwas irreführen, es geht hier nicht um den Beweis wie der Laplace Operator in Kugelkoordinaten aussieht, sondern um einen expliziten Fall dessen Anwendung.
Ich bin soeben beim Durchrechnen einer Altklausur und beim Vergleich mit der Musterlösung auf etwas gestoßen, dass mir eher komisch vorkam, bzw wovon ich noch nichts gehört habe und nirgends etwas darüber finden konnte.
Aufgabe war es, mittels Poisson-Gleichung die Ladungsdichte bei gegebenem kugelsymmetrischen Potential zu bestimmen, also Laplace-Operator in Kugelkoordinaten. Der zu "laplacende" Teil lautet: (a-r)^2/r
Die beiden Winkel Komponenten entfallen also und nach Auflösung der binomischen Formel lautet die Operation: a^2*\Delta/r + \Delta*r
Der \Delta*r Teil ist einfach und wird zu 2/r
, nichts besonderes. Wenn ich den ersten Teil berechne, so erhalte ich 0 a^2/(r^2)*pdiff( ,r)(r^2*pdiff( ,r)(1/r))= a^2/(r^2)*pdiff( ,r)(-2)=0
In der Musterlösung steht allerdings (ohne Rechenweg, Erklärung oder Beweis), dass
a^2/(r^2)*pdiff( ,r)(r^2*pdiff( ,r)(1/r))= -4\pi*a^2*\delta(vec(r))
Ich verstehe nun garnicht bzw kann nicht nachvollziehen, woher die -4Pi und die Delta Distribution herkommen. Kann jemand das erklären oder eventuell etwas vermuten?
Vielen Dank schonmal
|
 Profil
|
Kornkreis
Senior 
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 903
Wohnort: Chemnitz
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-16
|
Hi,
im dreidimensionalen Raum gilt $\Delta \frac{1}{r}=-4\pi \delta(\vec{r}).$ Da du im Elektrodynamik-Forum schreibst: sicherlich habt ihr das irgendwann mehr oder weniger rigoros hergeleitet, als es darum ging, die Laplacegleichung zu lösen, um das Potential von Ladungsverteilungen herzuleiten. D.h. du kannst obige Formel einfach als Fakt benutzen.
|
Profil
|
TerraNovatius
Neu
Dabei seit: 16.02.2019
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17
|
Vielen Dank für die Antwort.
Kann ich in dem Skript meiner Vorlesung nicht finden, die Lösungen der Laplace-Gleichung wurde per Seperationsansatz gemacht und in der gesamten Rechnung finde ich das nicht. Wahrscheinlich hat es der Prof. von dem diejenige Altklausur stammt damals gemacht.
Aber dann notier ich mir auf jeden Fall, dass das geht, danke sehr.
|
Profil
|
Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 903
Wohnort: Chemnitz
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-17
|
\quoteon(2019-02-17 12:19 - TerraNovatius in Beitrag No. 2)
Kann ich in dem Skript meiner Vorlesung nicht finden, die Lösungen der Laplace-Gleichung wurde per Seperationsansatz gemacht und in der gesamten Rechnung finde ich das nicht.
\quoteoff
In dem Falle könntest du es dir auch rückwärts überlegen:
Für jede Ladungsdichte $\varrho(\vec{r})$, die eine Testfunktion im $\mathbb{R}^3$ ist (also glatt und außerhalb einer beschränkten Menge gleich 0), ist laut eurer Vorlesung das Potential im Raum gegeben durch
$$\varphi(\vec{r})=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\varrho(\vec{r}')}{4\pi\varepsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}'|}\,\mathrm{d}^3\vec{r}'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{|\cdot|}*\varrho\right)(\vec{r}),$$
sofern keine Randbedingungen im Endlichen vorhanden sind durch die Anwesenheit von Materialien. Die rechte Seite stellt die Faltung einer auf $\mathbb{R}^3$ lokal integrierbaren Funktion (also einer Distribution) mit einer Testfunktion dar, ausgewertet an der Stelle $\vec{r}$.
Weiterhin folgt aus den Maxwellgleichungen die Poissongleichung
$\Delta \varphi = -\frac{\varrho}{\varepsilon_0}.$
Wenn du also $\Delta_{\vec{r}}$ auf beide Seiten der obigen Gleichung anwendest (und benutzt, dass man die Ableitung in die Faltung reinziehen kann), erhältst du $$-\frac{\varrho(\vec{r})}{\varepsilon_0}=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\varrho(\vec{r}')}{4\pi\varepsilon_0} \Delta_{\vec{r}} \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,\mathrm{d}^3\vec{r}',$$ woraus dann
$$\Delta_{\vec{r}} \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}=-4\pi\delta(\vec{r}-\vec{r}')$$ folgt (zwei Distributionen sind gleich, wenn ihre Anwendung auf beliebige Testfunktionen jeweils das gleiche Resultat liefert).
|
Profil
|
TerraNovatius
Neu
Dabei seit: 16.02.2019
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17
|
Vielen vielen Dank, das ist eine gute Erklärung.
Ich kann's jetzt nachvollziehen.
|
Profil
|
TerraNovatius hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
TerraNovatius hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
