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  Stereographische Projektion |
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kanntitan
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 94
 |  Themenstart: 2019-02-21
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Hallo,
ich versuche gerade Königsbergers Herleitunng der stereographischen Projektion nachzuvollziehen.
Dazu schreibt er in seinem Buch Analysis 1 (6.,durchgesehene Auflage):
"Die Verbindungsgerade eines Punktes $x\in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ mit dem Punkt $i$ schneidet die 1-Sphäre in genau einem Punkt $\sigma(x) \neq i$. Die daduch definierte Abbildung $\sigma:\mathbb{R} \to S^1$ heißt stereographische Projektion; ihr Wertebereich ist $S^1 \setminus \{i\}$.
Für $\sigma(x)=\xi + i\eta$ hat man im Fall $x\neq 0$ die beiden Gleichungen
\[ \xi : x = (1-\eta) : 1 \]
und
\[ \xi^2+\eta^2=1\]
Als Lösung, die offensichtlich auch für $\sigma(0)$ gilt, erhält man
\[ \sigma(x)=\frac{2x+i(x^2-1)}{x^2+1} \]."
Ich komme von den zwei Gleichungen nicht auf die letzte Gleichung. Kann mir wer helfen?
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Bai
Senior 
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-21
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Hi,
wo liegt denn das Problem genau? Gegeben ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Bestimmte daraus $\xi(x)$ und $\eta(x)$.
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kanntitan
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 94
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21
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Hallo Bai,
ich komme nicht auf die letzte Gleichung.
Gruß
kanntitan
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-21
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Kannst du denn z.B. aus den beiden Gleichungen $\eta(x)$ bestimmen?
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kanntitan
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 94
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21
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Für $\eta(x)$ kriege ich $x^2-1$, aber nicht $\frac{x^2-1}{x^2+1}$
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-21
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Dann wirst du dich wohl verrechnet haben.
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kanntitan
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 94
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21
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Meine Rechnung für $\eta$:
$\frac{\xi}{x}=1-\eta \Leftrightarrow \frac{\xi}{1-\eta}=x \Leftrightarrow \frac{\xi^2}{(1-\eta)^2}=x^2$
$\xi^2+\eta^2=1 \Leftrightarrow \xi^2=1-\eta^2$
Zweite Gleichung in ertste ergibt:
$x^2=\frac{1-\eta^2}{1-\eta}=\frac{(1-\eta)(1+\eta)}{1-\eta} =1+\eta$
Also: $\eta=x^2-1$
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3414
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-21
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Hallo kanntitan,
die zweite Gleichung in die erste eingesetzt liefert:
$$x^2=\frac{1-\eta^2}{(1-\eta)^2}$$Hier ist Dir im Nenner das Quadrat verloren gegangen.
Ciao,
Thomas
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kanntitan
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Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 94
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21
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Danke Thomas. Damit komme ich zu dem richtigen Ergebnis für $\eta$.
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kanntitan
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 94
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21
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So, $\xi$ habe ich auch bestimmt.
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